线性变换与二阶矩阵_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知曲线C：x2+y2=1，对它先作矩阵A=对应的变换，再作矩阵B=对应的变换，得到曲线C：+y2=1．则实数b=______．

正确答案

±1

解析

解：从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵BA=•=

在曲C1上任意选一点P（x0，y0），设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P‘（x'，y'），

则有•=

解得代入曲线C：x2+y2=1，得，y'2+=1

即曲线方程为：+y2=1

与已知的曲线C2的方程为：+y2=1比较得（2b）2=4

所以b=±1．

故答案为：±1．

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题型：填空题

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填空题

矩阵，，则2A-3B=______．

正确答案

解析

解：∵矩阵，

∴2A=，

∴3B=，

∴2A-3B==．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵A=[f（x）]，B=[x 1-x]，，若A=BC，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．

正确答案

解：因为BC=[x 1-x]=[x2+2a（1-x）]，A=[f（x）]

又因为A=BC，f（x）=x2-2ax+2a=（x-a）2+2a-a2，∵x∈[1，2]．

当x≥2时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=4-2a．

当1≤x＜2时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=2a-a2．

当x＜1时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1．

∴．

解析

解：因为BC=[x 1-x]=[x2+2a（1-x）]，A=[f（x）]

又因为A=BC，f（x）=x2-2ax+2a=（x-a）2+2a-a2，∵x∈[1，2]．

当x≥2时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=4-2a．

当1≤x＜2时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=2a-a2．

当x＜1时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1．

∴．

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题型：简答题

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简答题

本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．

（1）选修4-2：矩阵与变换

已知是矩阵属于特征值λ1=2的一个特征向量．

（I）求矩阵M；

（Ⅱ）若，求M10a．

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，A（l，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程为为参数）．

（I）将曲线C的参数方程化为普通方程；

（Ⅱ）以A（l，0为极点，||为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．

（3）选修4-5：不等式选讲

（I）试证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；

（Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．

正确答案

（1）解：（I）由题意，，∴，∴a=1，b=2

∴矩阵M=；

（Ⅱ）由（I）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2）

∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1

设是矩阵M属于特征值1的特征向量，则

∴，取x=1，则

∴

∴=

（2）（I）由消去θ可得（x-2）2+y2=1；

（Ⅱ）将原点移至A（1，0），则相应曲线C的方程为（x-1）2+y2=1，即x2+y2-2x=0

∴曲线C的极坐标方程为ρ-2cosθ=0

（3）（I）证明：左边-右边=a2y2+b2x2-2abxy=（ay-bx）2≥0，∴左边≥右边

即

（Ⅱ）令u=x+y，v=x-y，则

∵，∴（u+v）2+（u-v）2=8，∴u2+v2=4

由柯西不等式得：，当且仅当，即或时，的最小值是1．

解析

（1）解：（I）由题意，，∴，∴a=1，b=2

∴矩阵M=；

（Ⅱ）由（I）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2）

∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1

设是矩阵M属于特征值1的特征向量，则

∴，取x=1，则

∴

∴=

（2）（I）由消去θ可得（x-2）2+y2=1；

（Ⅱ）将原点移至A（1，0），则相应曲线C的方程为（x-1）2+y2=1，即x2+y2-2x=0

∴曲线C的极坐标方程为ρ-2cosθ=0

（3）（I）证明：左边-右边=a2y2+b2x2-2abxy=（ay-bx）2≥0，∴左边≥右边

即

（Ⅱ）令u=x+y，v=x-y，则

∵，∴（u+v）2+（u-v）2=8，∴u2+v2=4

由柯西不等式得：，当且仅当，即或时，的最小值是1．

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题型：填空题

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填空题

把实数a，b，c，d排成如的形式，称之为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点（ax+by，cx+dy），则点（2，3）在矩阵的作用下变换成点______．

正确答案

（3，2）

解析

解：∵

∴

故答案为（3，2）

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题型：简答题

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简答题

本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）已知矩阵M=，，且，

（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．

（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，

求|PA|+|PB|．

（3）已知函数f（x）=|x-a|．

（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求≤

正确答案

（1）选修1：解：（Ⅰ）由题设得，解得；

（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），

由，，

得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的变换下的线的像是（0，0），（-2，2），

从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x．

（2）选修2：解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ得x2+y2-2y=0，即=5．

（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得=5，

即t2-3t+4=0，

由于-4×4=2＞0，

故可设t1，t2是上述方程的两实根，

所以，

又直线l过点P（3，），

故由上式及t的几何意义得：

|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．

（3）选修3：解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，

又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，

所以，解得a=2．

（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x-2|，

设g（x）=f（x）+f（x+5），

于是g（x）=|x-2|+|x+3|=，

所以，当x＜-3时，g（x）＞5；

当-3≤x≤2时，g（x）=5；

当x＞2时，g（x）＞5．

实数m的取值范围是m≤5．

解析

（1）选修1：解：（Ⅰ）由题设得，解得；

（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），

由，，

得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的变换下的线的像是（0，0），（-2，2），

从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x．

（2）选修2：解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ得x2+y2-2y=0，即=5．

（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得=5，

即t2-3t+4=0，

由于-4×4=2＞0，

故可设t1，t2是上述方程的两实根，

所以，

又直线l过点P（3，），

故由上式及t的几何意义得：

|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．

（3）选修3：解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，

又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，

所以，解得a=2．

（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x-2|，

设g（x）=f（x）+f（x+5），

于是g（x）=|x-2|+|x+3|=，

所以，当x＜-3时，g（x）＞5；

当-3≤x≤2时，g（x）=5；

当x＞2时，g（x）＞5．

实数m的取值范围是m≤5．

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题型：简答题

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简答题

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（　　）

①f（）=1；②f（x）为奇函数；③f（x）在其定义域内单调递增；④f（x）的图象关于点（，0）对称．

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