- 变换的复合与二阶矩阵的乘法
- 共172题
若矩阵
正确答案
解析
解：∵j=k，k∈N*表示第50k名分数，小明的各科排名均在250左右
∴小明的各科的分数为语文62，数学59，外69，三门总分约为195
数学成绩59在三门中最低，而第50名的成绩为81分，分差较大，有很大的空间提升
而经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的，则他应把努力方向主要放在数学学科上．
故选B．
已知矩阵A=
正确答案
解：∵A=
∴|A|=-2，
∴|A|2-1=3
解析
解：∵A=
∴|A|=-2，
∴|A|2-1=3
计算矩阵的乘积
正确答案
解析
解：
故答案为：
已知M=[
正确答案
解：矩阵M的特征多次式为f（λ）=（λ-1）2-4=0，λ1=3，λ2=-1，
对应的特征向量分别为
而α=-
∴M20α=-320
解析
解：矩阵M的特征多次式为f（λ）=（λ-1）2-4=0，λ1=3，λ2=-1，
对应的特征向量分别为
而α=-
∴M20α=-320
对任意的实数x，y，矩阵运算
正确答案
解析
解：由题意，
∴a=d=0，b=c=1，
∴
故答案为：
已知
正确答案
解析
解：设
故
解得：
故
故答案为：
定义运算
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题中的定义可知，则
=
=
=
故选A
定义矩阵方幂运算：设A是一个n×n（n∈N*）的矩阵，定义
正确答案
解析
解：A2=A•A=
A3=A2•A=
同理A4=
故答案为：An=
点通过矩阵M1=
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由于M1•M2=
则点通过矩阵M1=
故选D．
已知矩阵M=
（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；
（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．
正确答案
解：（Ⅰ）由题设得 
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），
所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），
由
得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），
从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x．
解析
解：（Ⅰ）由题设得
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），
所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），
由
得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），
从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．设k为非零实数，矩阵M=
（1）求k的值．
（2）判断变换MN是否可逆，如果可逆，求矩阵MN的逆矩阵；如不可逆，说明理由．
正确答案
解：（1）由题设得MN=
由 
可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）．
计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，
则由题设知：|k|=2×1=2．
所以k的值为2或-2．
（2）令MN=A，设 
①当k≠0时，上式
所以MN的逆矩阵是 
②当k≠0时，上式不可能成立，MN不可逆，（11分）．
解析
解：（1）由题设得MN=
由
可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）．
计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，
则由题设知：|k|=2×1=2．
所以k的值为2或-2．
（2）令MN=A，设
①当k≠0时，上式
所以MN的逆矩阵是
②当k≠0时，上式不可能成立，MN不可逆，（11分）．
选修4-2：矩阵与变换
已知△ABC经过矩阵M的变换后变成△A‘B'C'，且A（1，0），B（1，-1），C（0，-1），A'（1，0），B'（0，-1）．
（Ⅰ）求矩阵M，并说明它的变换类型；
（Ⅱ）试求出点C'的坐标及M的逆矩阵M-1．
正确答案
解析
解：（I）设M=
∴
∴M=
（II）∵
∴点C‘的坐标（-1，-1）；
又|M|=1，∴M-1=
写出关于直线y=12x的反射变换的矩阵．
正确答案
解：点p0（x0，y0）关于直线y=12x的对称点为P′（x′，y′）．
∴
∴
∴
∴关于直线y=12x的反射变换的矩阵为：
解析
解：点p0（x0，y0）关于直线y=12x的对称点为P′（x′，y′）．
∴
∴
∴
∴关于直线y=12x的反射变换的矩阵为：
（1）若点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x2+y2=1在矩阵N=
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为
（Ⅱ）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线C1的极坐标方程为：
（3）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．
正确答案
解：（1）（Ⅰ）∵矩阵M=
∴
（Ⅱ）设（x′，y′）在矩阵N=
代入x2+y2=1，可得4x2+y2=1；
（2）（Ⅰ）直线和圆的直角坐标方程分别为y=x和（x-1）2+（y-2）2=5，则圆心为C（1，2），半径R=
从而C到直线y=x的距离d=
由垂径定理得|AB|=2
（Ⅱ）直线C1的极坐标方程为：
圆心坐标为（1，3）关于x+y=2对称点的坐标为（1，-1），
∴曲线C2关于直线C1对称的曲线的直角坐标方程为（x+1）2+（y-1）2=1；
（3）（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，即m≤2（|x-7|+|x+3|）
由绝对值不等式的性质可得2（|x-7|+|x+3|）≥2|x-7-（x+3）|=20
∴实数m的取值范围为（-∞，20]；
（Ⅱ）由柯西不等式可得
∵2x2+3y2+6z2=a（a＞0），∴a≥（x+y+z）2，
∵x+y+z的最大值是1，∴a=1，
当2x=3y=6z时，x+y+z取最大值，∴a=1．
解析
解：（1）（Ⅰ）∵矩阵M=
∴
（Ⅱ）设（x′，y′）在矩阵N=
代入x2+y2=1，可得4x2+y2=1；
（2）（Ⅰ）直线和圆的直角坐标方程分别为y=x和（x-1）2+（y-2）2=5，则圆心为C（1，2），半径R=
从而C到直线y=x的距离d=
由垂径定理得|AB|=2
（Ⅱ）直线C1的极坐标方程为：
圆心坐标为（1，3）关于x+y=2对称点的坐标为（1，-1），
∴曲线C2关于直线C1对称的曲线的直角坐标方程为（x+1）2+（y-1）2=1；
（3）（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，即m≤2（|x-7|+|x+3|）
由绝对值不等式的性质可得2（|x-7|+|x+3|）≥2|x-7-（x+3）|=20
∴实数m的取值范围为（-∞，20]；
（Ⅱ）由柯西不等式可得
∵2x2+3y2+6z2=a（a＞0），∴a≥（x+y+z）2，
∵x+y+z的最大值是1，∴a=1，
当2x=3y=6z时，x+y+z取最大值，∴a=1．
已知矩阵A=
正确答案
解：设特征向量为α=
因为k≠0，所以a=2． …（5分）
因为A-1
所以2+k=3，解得k=1．
综上，a=2，k=1．…（10分）
解析
解：设特征向量为α=
因为k≠0，所以a=2． …（5分）
因为A-1
所以2+k=3，解得k=1．
综上，a=2，k=1．…（10分）
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