- 二面角的平面角及求法
- 共2160题
（1）求四棱锥P一ABCD的体积：
（2）求二面角C-PB-A大小；
（3）M为棱PB上的点，当PM长为何值时，CM⊥PA？
正确答案
∴
（2）如图，以D为坐标原点，分别以DP、DC、DA所在
直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设CP中
点为E，则
可知
知
设二面角
所以二面角C-PB-A大小为
（3）P（2，0，0），B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2），∵PMB共线，
∴可设
∵
∴PM的长为
解析
∴
（2）如图，以D为坐标原点，分别以DP、DC、DA所在
直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设CP中
点为E，则
可知
知
设二面角
所以二面角C-PB-A大小为
（3）P（2，0，0），B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2），∵PMB共线，
∴可设
∵
∴PM的长为
正确答案
60°
解析
解：AD⊥BC，FG∥BC，∴ED⊥FG，A′E⊥FG，∴∠A′ED即为 二面角A‘-FG-B的平面角，在直角三角形EA′D中，ED=2A′E，∴∠EDA′=30°，∴∠A′ED=60°
故答案为：60°．
在空间中，已知平面α过点（3，0，0）和点（0，4，0）及z轴上一点（0，0，a）（a＞0），如果平面α与平面xOy上的夹角为45°，则a=______．
正确答案
解析
解：如图，设A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，a），则：
∴AB=5；
过O作OD⊥AB，垂足为D，并连接CD，则：3•4=5•OD；
∴OD=
∵OC⊥平面OAB，OD⊆平面OAB，且OD⊥AB；
∴根据三垂线定理得：CD⊥AB；
∴∠ODC是平面ABC和平面OAB所成二面角的平面角，根据题意知该角为45°；
∴OC=OD=
∴
故答案为：
（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）求证：AB1∥平面A1DC；
（Ⅲ）求二面角D-A1C-A的余弦值．
正确答案
所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，
所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱．
因为A1D⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D
又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，
所以A1D⊥B1C1．
因为CC1∩B1C1=C1，
所以A1D⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）证明：连接AC1，交A1C于点O，连接OD，
因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点，又D为B1C1中点，
所以OD为△AB1C1中位线，所以AB1∥OD，
因为OD⊂平面A1DC，AB1⊄平面A1DC，
所以AB1∥平面A1DC．
（Ⅲ）解：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz．
设AB=1，则
设平面A1DC的法向量为n=（x，y，z），则有
取x=1，得n=（1，-1，-1）．
又因为AB⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为
因为二面角D-A1C-A是钝角，
所以，二面角D-A1C-A的余弦值为
解析
所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，
所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱．
因为A1D⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D
又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，
所以A1D⊥B1C1．
因为CC1∩B1C1=C1，
所以A1D⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）证明：连接AC1，交A1C于点O，连接OD，
因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点，又D为B1C1中点，
所以OD为△AB1C1中位线，所以AB1∥OD，
因为OD⊂平面A1DC，AB1⊄平面A1DC，
所以AB1∥平面A1DC．
（Ⅲ）解：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz．
设AB=1，则
设平面A1DC的法向量为n=（x，y，z），则有
取x=1，得n=（1，-1，-1）．
又因为AB⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为
因为二面角D-A1C-A是钝角，
所以，二面角D-A1C-A的余弦值为
（1）求证：AC⊥FB
（2）求二面角E-FB-C的大小．
正确答案
∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，…（2分）
∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC
由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC…（4分）
又∵四边形ABCD为直角梯形，
AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4
∴
∴AC⊥BC
由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB．…（6分）
（2）解：由（1）知AD，DC，DE所在直线相互垂直，
故以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，…（7分）
可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），
E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），
由（1）知平面FCB的法向量为
∴
设平面EFB的法向量为
则有：
令z=1则
设二面角E-FB-C的大小为θ，
∵
解析
∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，…（2分）
∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC
由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC…（4分）
又∵四边形ABCD为直角梯形，
AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4
∴
∴AC⊥BC
由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB．…（6分）
（2）解：由（1）知AD，DC，DE所在直线相互垂直，
故以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，…（7分）
可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），
E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），
由（1）知平面FCB的法向量为
∴
设平面EFB的法向量为
则有：
令z=1则
设二面角E-FB-C的大小为θ，
∵
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