二面角的平面角及求法
共2160题

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二面角的平面角及求法
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题型：简答题

简答题

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2．

（1）求证：CD⊥SA；

（2）求二面角C-SA-D的正切值．

正确答案

（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥SD，

又∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，

又SD∩AD=D，∴CD⊥平面SDA，

又∵SA⊂平面SDA，∴CD⊥SA；

（2）解：取SA中点E，连接DE，CE，

∵SD=AD，CS=CA，

∴DE⊥SA，CE⊥SA．

∴∠CED是二面角C-SA-D的平面角．

∵SD=AD=2，

∴DE=，CD=2，

∴二面角C-SA-D的正切值为=．

解析

（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥SD，

又∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，

又SD∩AD=D，∴CD⊥平面SDA，

又∵SA⊂平面SDA，∴CD⊥SA；

（2）解：取SA中点E，连接DE，CE，

∵SD=AD，CS=CA，

∴DE⊥SA，CE⊥SA．

∴∠CED是二面角C-SA-D的平面角．

∵SD=AD=2，

∴DE=，CD=2，

∴二面角C-SA-D的正切值为=．

题型：简答题

简答题

如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=PO．

（Ⅰ）求证：PD⊥平面COD；

（Ⅱ）求二面角B-DC-O的余弦值．

正确答案

（Ⅰ）证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，

由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，

∴DA⊥AO．从而，

在△PDO中，∵PO=2，

∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO．

又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，

∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，

∴PO⊥OC，

又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O，

∴CO⊥平面PAB．

故CO⊥PD．

∵CO∩DO=O，

∴PD⊥平面COD．

（Ⅱ）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图．

则由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，-1，1），

∴，

由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴是平面DCO的一个法向量，

设平面BDC的法向量为，∴，∴，

令y=1，则x=1，z=3，∴，

∴，

由图可知：二面角B-DC-O为锐角，二面角B-DC-O的余弦值为．

解析

（Ⅰ）证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，

由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，

∴DA⊥AO．从而，

在△PDO中，∵PO=2，

∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO．

又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，

∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，

∴PO⊥OC，

又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O，

∴CO⊥平面PAB．

故CO⊥PD．

∵CO∩DO=O，

∴PD⊥平面COD．

（Ⅱ）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图．

则由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，-1，1），

∴，

由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴是平面DCO的一个法向量，

设平面BDC的法向量为，∴，∴，

令y=1，则x=1，z=3，∴，

∴，

由图可知：二面角B-DC-O为锐角，二面角B-DC-O的余弦值为．

题型：简答题

简答题

如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，PA=AC，C是圆周上不同于A，B的任意一点，

（1）求证：BC⊥平面PAC．

（2）求二面角 P-BC-A 的大小．

正确答案

证明：（1）∵PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC．

又△ABC中，AB是圆O的直径，∴BC⊥AC．

又PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC

（2）∵BC⊥平面PAC，

∴BC⊥PC，

∵BC⊥AC，

∴∠PCA是二面角 P-BC-A 的平面角，

∵PA=AC，

∴∠PCA=45°，

即二面角 P-BC-A 的大小为45°．

解析

证明：（1）∵PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC．

又△ABC中，AB是圆O的直径，∴BC⊥AC．

又PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC

（2）∵BC⊥平面PAC，

∴BC⊥PC，

∵BC⊥AC，

∴∠PCA是二面角 P-BC-A 的平面角，

∵PA=AC，

∴∠PCA=45°，

即二面角 P-BC-A 的大小为45°．

题型：单选题

单选题

（2015秋•成都校级期中）在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点（左图），将∠ABD沿BD折起，使得AB⊥CD（右图），则二面角A-BD-C的余弦值为（　　）

A-

C-

正确答案

解析

解：过A作AE⊥BD，在原图延长角BC与F，

过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，

∵在△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点，

AB=，BD=AC，

∴△ABD为等边三角形，

∴BD⊥AE，BD⊥EF，

∴∠AEF为二面角A-BD-C的平面角，

过A作AO⊥面BCD，垂足为O，

∵面AEF⊥面BCD，

∴O在EF上，

理解BO交CD延长线于M，

当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理可知：MB⊥CM，

∴O为翻折之前的三角形ABD的中心，

∴OE=AE，

cos∠AEO=，

∴cos∠AEF=，

故选：A

题型：简答题

简答题

如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=，AD=2，AM=1，E是AB的中点．

（Ⅰ）求证：DE⊥NC；

（Ⅱ）在线段AM上是否存在点p，使二面角P-EC-D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．

正确答案

（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60°，∴DE=．

∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90o，∵AB∥DC，∴DE⊥DC …①…（1分）

∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND⊂平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，

∵DE⊂平面ABCD，∴ND⊥DE …②…（2分）

由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC

∴DE⊥NC …（4分）

（Ⅱ）解：设存在P符合题意．

由（Ⅰ）知，DE、DC、DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz（如图），

则D（0，0，0），A（，-1，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，-1，h）（0≤h≤1）．

∴=（0，-1，h），=（-，2，0），设平面PEC的法向量为=（x，y，z），

则，令x=2，则平面PEC的一个法向量为=（2h，h，） …（7分）

取平面ECD的法向量=（0，0，1），…（9分）

∴cos=，解得h=∈[0，1]，

即存在点P，使二面角P-EC-D的大小为，此时AP=． …（12分）

解析

（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60°，∴DE=．

∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90o，∵AB∥DC，∴DE⊥DC …①…（1分）

∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND⊂平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，

∵DE⊂平面ABCD，∴ND⊥DE …②…（2分）

由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC

∴DE⊥NC …（4分）

（Ⅱ）解：设存在P符合题意．

由（Ⅰ）知，DE、DC、DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz（如图），

则D（0，0，0），A（，-1，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，-1，h）（0≤h≤1）．

∴=（0，-1，h），=（-，2，0），设平面PEC的法向量为=（x，y，z），

则，令x=2，则平面PEC的一个法向量为=（2h，h，） …（7分）

取平面ECD的法向量=（0，0，1），…（9分）

∴cos=，解得h=∈[0，1]，

即存在点P，使二面角P-EC-D的大小为，此时AP=． …（12分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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