热门试卷

证明：（I）取DE中点N，连接MN，AN

在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=CD．

由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．

所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN

又因为AN⊂平面ADEF，

且BM⊄平面ADEF，

所以BM∥平面ADEF．（4分）

（II）在正方形ADEF中，ED⊥AD，

又因为平面ADEF⊥平面ABCD，

且平面ADEF∩平面ABCD=AD，

所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．

在直角梯形ABCD中，

AB=AD=2，CD=4，可得BC=2

在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，

所以BC⊥BD．

所以BC⊥平面BDE，又因为BC⊂平面BCE，

所以平面BDE⊥平面BEC．（9分）

解：（III）由（2）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD．

以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），平面ADEF的一个法向量为=（0，1，0）．

设=（x，y，z）为平面BEC的一个法向量，因为，

∴

令x=1，得y=1，z=2

所以=（1，1，2）为平面BEC的一个法向量

设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ

则cosθ==

所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为余弦值为

解：（Ⅰ）设BQ=t，AQ2=3+t2，则

PQ2=19+t2，QD2=3+（a-t）2，PD2=16+a2

由PQ⊥QD得：19+t2+3+（a-t）2=16+a2，即t2-at+3=0

∴△=a2-12≥0．

（Ⅱ）由（Ⅱ）得当a=4时，t2-4t+3=0，t=1或t=3

因为面PAD⊥面ABCD，

所以过Q作 QM⊥AD，则QM⊥面PAD，

过M作MN⊥PD，由三垂线定理有QN⊥PD

所以∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角

在Rt△PAD中，，

当t=1时，

当t=3时，

∴二面角A-PD-Q的大小为arctan．

解（1）取AB的中点M，CD的中点N，连MN、VM、VN，（1分）

∵底面ABCD是边长为2的正方形，∴MN⊥AB，MN=2       （2分）

又∵VA=VB=，M为AB的中点，∴VM⊥AB             （3分）

∴∠VMN是二面角V-AB-C的平面角 （4分）

在Rt△VAM中，AM=1，VA=，

∴VM==2，同理可得VN=2            （5分）

∴△VMN是正三角形，可得∠VMN=60°

即二面角V-AB-C的大小为60°             （7分）

（2）由（1）知AB⊥平面VMN          （8分）

∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面VMN          （9分）

过V作VO⊥MN于点O，

∵平面ABCD⊥平面VMN，平面ABCD∩平面VMN=MN，VO⊂平面VMN

∴VO⊥平面ABCD，得VO是四棱锥V-ABCD的高     （11分）

∵VM=MN=NV=2，∴VO=                      （12分）

因此，四棱锥V-ABCD的体积为

V=SABCD×VO==      （14分）