热门试卷

（1）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵D、F分别是BB1、AA1的中点，∴四边形ABDF为平行四边形，

连接BF、AD相交于G，则G为AD的中点，又E为AC的中点，连接EG，则EG∥CD，

又CD⊄面BEF，EG⊂面BFE，∴CD∥平面BEF；

（2）解：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1⊥CC1，AC⊥CC1，

在△ABC中，∵AC=BC，AB=AC，∴AC2+BC2=AB2，则AC⊥BC，

同理A1C1⊥B1C1，∴AC⊥面BB1C1C，则AC⊥CD，

同理A1C1⊥C1D．

∴∠C1DC为平面ACD与平面A1C1D所成二面角的平面角．

∵BC=AA1，

∴∠BCD=∠B1C1D=45°，

则∠C1DC=90°．

即平面ACD与平面A1C1D所成二面角的大小是90°．

解：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．

（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，

作OM⊥BC，连接PM

∴PM⊥BC，

∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，

∴BC=，PM===，BM==，

设AB=x，∴OM=x∴PO=，

∴VP-ABCD=×x××==，

当，即x=，VP-ABCD=，

建立空间直角坐标系O-AMP，如图所示，

则P（0，0，），D（-，0，0），C（-，，0），M（0，，0），B（，，0）

面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，-2）

∴cosθ==-=-．由图可知二面角为锐角，即cos

证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，

在△PCD中，F为PC的中点，∴MF，

正方形ABCD中E为AB中点，∴AE，∴AEMF，

故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，

又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，

∴EF∥平面PAD；

（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．

理由如下：

如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，

则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，，0），F（，，1），

由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），

假设存在Q满足条件：设=λ，

∵=（，0，1），∴Q（，，λ），=（，，λ），λ∈[0，1]，

设平面PAQ的法向量为=（x，y，z），

由，可得=（1，-λ，0），

∴==，

由已知：=，解得：，

所以满足条件的Q存在，是EF中点．