热门试卷

（1）证明：由正方形ABCD可得：对角线BD⊥AC．

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，

又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，

∴BD⊥PC．

∵OE⊥PC，BD∩OE=O，

∴PC⊥平面BDE．

（2）由（1）可知：PC⊥平面BDE．

∴PC⊥BE，PC⊥DE，

∴∠BED即为二面角B-PC-D的平面角．

∵Rt△PAC∽Rt△OEC，∴，

∴==．

由（1）可知：BD⊥平面PAC，∴BD⊥OE．

在Rt△BOE中，tan∠BEO===，∴∠BEO=60°．

同理可得：∠DEO=60°．

∴∠BED=120°．

∴二面角B-PC-D的平面角∠BED=120°．即二面角B-PC-D为120°．

（共14分）

解：（1）证明：连接BD，则AC⊥BD．

由已知DN⊥平面ABCD，

因为DN∩DB=D，

所以AC⊥平面NDB．…（2分）

又因为BN⊂平面NDB，

所以AC⊥BN．…（4分）

（2）CM与BN交于F，连接EF．

由已知可得四边形BCNM是平行四边形，

所以F是BN的中点．

因为E是AB的中点，

所以AN∥EF．…（7分）

又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，

所以AN∥平面MEC．…（9分）

（3）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．

如图建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），，C（0，2，0），

.，．…（10分）

，

设平面MEC的法向量为=（x，y，z）．

则

所以

令x=2．

所以．…（12分），

又平面ADE的法向量=（0，0，1），

所以．．

 所以二面角M-EC-D的大小是60°．…（14分）

解析：（1）连接OC，由AD=BD知，点D为AO的中点，

又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，

∵AC=BC，∴∠CAB=60°，

∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．

∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，

∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，

∴PD⊥CD，PD∩AO=D，

∴CD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴PA⊥CD．

（2）过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，

由（1）知CD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，

∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，

∴PB⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，

∴CE⊥PB，

∴∠DEC为二面角C-PB-A的平面角．

由（1）可知CD=，PD=BD=3，

∴PB=3，则DE==，

∴在Rt△CDE中，tan∠DEC==，

∴cos∠DEC=，即二面角C-PB-A的余弦值为．