热门试卷

证明：（Ⅰ）连接BD和AC交于O，连接OF，

∵O为BD的中点，F是DE的中点，

∴OF∥BE，

∵BE⊄平面ACF，CD⊂平面ACF；

∴BE∥平面ACF；

（Ⅱ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面ACF，

∴AE⊥CD，

∵四边形ABCD为正方形，

∴CD⊥AD，

∵AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE；

∴CD⊥平面DAE，

∵DE⊂平面DAE，

∴CD⊥DE，

故以D为原点，以DE为x轴，建立如图所示的坐标系，

则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0），

由AE=DE=2，得AD=2，CD=2，

故C（0，2，0），

由=（2，2，2），

故B（2，2，2）．

设平面ACF的法向量为=（x，y，z），

=（-2，2，-2），=（1，-2，0），

由，得，

令y=1，则x=2，z=-，

即=（2，1，-），

设平面BCF的法向量为=（x，y，z），

=（-2，0，-2），=（1，-2，0），

由，得，

令y=1，则x=2，z=-2，

即=（2，1，-2），

cos＜，＞===

即二面角B-CF-A的平面角的余弦值为．

证明：（1）在梯形PDCB中，PA⊥AD

又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PA⊂面PAD

∴PA⊥面ABCD

解：（2）由（1）得：PA⊥平面ABCD

又CD⊥AD，

∴CD⊥PD

∴∠PDA就是二面角P-DC-B的平面角

在Rt△PAD中，PA=AD=1，

∴∠PDA=45°

即二面角P-DC-B的大小为45°．

（3）作CE∥AD交AB于E点，连ME

∵AD⊥AB

∴CE⊥AB

∵PA⊥平面ABCD

∴面PAB⊥面ABCD

∴CE⊥面PAB，

∴∠CME是CM与平面PAB所成的角

∵，

∴，

∴

（1）证明：如图，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

设PD=DC=m，DA=n，则D（0，0，0），P（0，0，m），B（n，m，0），

∵E是PC的中点，∴E（0，），

=（0，），又，

∴=（0，）•（n，m，-m）=0，

∴PB⊥DE，又EF⊥PB，DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD；

（2）解：由=λ，得m=λn．

，，，

设平面PDB的一个法向量为，平面EDB的一个法向量，

则由，得；

由，得．

∴cos＜＞===．

解得：λ2=2，．

解：（1）取BA1的中点G，连接EG，DG，

∴GE平行且等于AA1，

∵D是CC1中点，

∴CD平行且等于AA1，

∴GE平行且等于CD，

∴四边形GDCE是平行四边形，

∴CE∥GD，

∵CE⊄平面A1BD，GD⊂平面A1BD，

∴CE∥平面A1BD，

（2）∵AA1⊥面ABC，CE⊂面ABC，

∴AA1⊥CE，

又△ABC等边三角形，E是中点，

∴，

所以CE⊥面AA1B，

连接EH，则∠EHC为CH与平面AA1B所成的角，

，

所以EH最短时∠EHC最大，

此时，EH⊥A1B，∴，

∴

由平几相似关系得AA1=4；

（3）△IBD中，IB=DB=2，ID=4，∴S△IBD==2，

△ABD中，AB=4，DB=2，AD=2，∴cos∠ABD==，

∴sin，

∴S△ABD==，

∴二面角I-BD-A的余弦值为=．