二面角的平面角及求法_章节学习

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题型：单选题

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单选题

A，B，C三点在半径为1的球O面上，A，B及A，C的球面距离均为，且OA与平面ABC所成的角的正切值为，则二面角B-OA-C的大小为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：球心O与A，B，C三点构成三棱锥O-ABC，如图所示，

已知OA=OB=OC=r=1，∠AOB=∠AOC=90°，

由此可得AO⊥面BOC，则AO⊥OE

而OA与平面ABC所成的角的正切值为，

∴OE=

则BE=∴BC=1

BO⊥AO，CO⊥AO，则∠BOC为二面角B-OA-C的平面角

∴∠BOC=

故选C

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题型：填空题

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填空题

已知二面角α-l-β的度数为45°，点A∈α，点A到棱l的距离为，则点A到平面β的距离等于______．

正确答案

1

解析

解：如图AB⊥β，，且∠AOB即为二面角α-l-β的平面角即∠AOB=45°，

故AB即为所求．

在直角三角形ABO中，AB=AOsin45°=

故答案为 1．

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题型：简答题

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简答题

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E．

（1）证明：CF⊥平面ADF；

（2）求二面角C-AF-E的余弦值．

正确答案

（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AD，

又CD⊥AD，PD∩CD=D，

∴AD⊥平面PCD，

∴AD⊥PC，又AF⊥PC，

∴PC⊥平面ADF，

即CF⊥平面ADF；

（2）设AB=1，在直角△PDC中，CD=1，∠DPC=30°

则PC=2，PD=，由（1）知，CF⊥DF，

则DF=，AF==，

即有CF==，又EF∥CD，

则==，则有DE=，

同理可得EF=CD=，

如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0），

设=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则，，

则有，令x=4可得z=，则=（4，0，），

设平面ACF的一个法向量为=（k，l，r），则，，

则有，令l=4，可得r=4，k=，则=（，4，4），

设二面角C-AF-E的平面角为θ，则θ为钝角，

则cosθ=-|cos＜，＞|=-||=-．

解析

（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AD，

又CD⊥AD，PD∩CD=D，

∴AD⊥平面PCD，

∴AD⊥PC，又AF⊥PC，

∴PC⊥平面ADF，

即CF⊥平面ADF；

（2）设AB=1，在直角△PDC中，CD=1，∠DPC=30°

则PC=2，PD=，由（1）知，CF⊥DF，

则DF=，AF==，

即有CF==，又EF∥CD，

则==，则有DE=，

同理可得EF=CD=，

如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0），

设=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则，，

则有，令x=4可得z=，则=（4，0，），

设平面ACF的一个法向量为=（k，l，r），则，，

则有，令l=4，可得r=4，k=，则=（，4，4），

设二面角C-AF-E的平面角为θ，则θ为钝角，

则cosθ=-|cos＜，＞|=-||=-．

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题型：简答题

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简答题

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=2PA，E是线段BC的中点．

（1）求证：PE⊥AD；

（2）求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值；

（3）在线段PD上是否存在一点F，使得CF∥平面PAE，并给出证明．

正确答案

解：∵四边形ABCD是∠ABC=60°的菱形，E为边BC的中点，

∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AE，PA⊥AD，以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系如图，设AB=2，

则B（，-1，0），E（，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）…．（1分）

（1）=（，0，-1），=（0，2，0）…（2分）

•=0…（3分）

∴PE⊥AD…（4分）

（2）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，

∵=（，1，-1），=（0，2，-1），

∴（x，y，z）•（，1，-1）=x+y-z=0，（x，y，z）•（0，2，-1）=2y-z=0，

令x=1，则y=，z=2，得平面PCD的一个法向量为=（1，，2），

又AD⊥平面PAE，则=（0，2，0）是面PAE的一个法向量，

设平面PAE与平面PCD所成角为α，

则cosα=|cos＜，＞|=||==…（8分）

（3）假设线段PD存在一点F，使直线CF∥平面PAE，则CF⊥面PAD，

∴CF⊥AD，

设=λ=（0，2λ，-λ），（0≤λ≤1），则=-=（-，2λ-1，-λ+1），

则=（-，2λ-1，-λ+1）•（0，2，0）=4λ-2=0，

解得，λ=，

∴当F为线段PD的中点时，直线CF∥平面PAE…（12分）

解析

解：∵四边形ABCD是∠ABC=60°的菱形，E为边BC的中点，

∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AE，PA⊥AD，以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系如图，设AB=2，

则B（，-1，0），E（，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）…．（1分）

（1）=（，0，-1），=（0，2，0）…（2分）

•=0…（3分）

∴PE⊥AD…（4分）

（2）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，

∵=（，1，-1），=（0，2，-1），

∴（x，y，z）•（，1，-1）=x+y-z=0，（x，y，z）•（0，2，-1）=2y-z=0，

令x=1，则y=，z=2，得平面PCD的一个法向量为=（1，，2），

又AD⊥平面PAE，则=（0，2，0）是面PAE的一个法向量，

设平面PAE与平面PCD所成角为α，

则cosα=|cos＜，＞|=||==…（8分）

（3）假设线段PD存在一点F，使直线CF∥平面PAE，则CF⊥面PAD，

∴CF⊥AD，

设=λ=（0，2λ，-λ），（0≤λ≤1），则=-=（-，2λ-1，-λ+1），

则=（-，2λ-1，-λ+1）•（0，2，0）=4λ-2=0，

解得，λ=，

∴当F为线段PD的中点时，直线CF∥平面PAE…（12分）

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题型：简答题

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简答题

如图1，在直角梯形SABC中，∠B=∠C=，D为边SC上的点，且AD⊥SC，现将△SAD沿AD折起到达PAD的位置（折起后点S记为P），并使得PA⊥AB．

（1）求证：PD⊥平面ABCD；

（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，当线段PB取得最小值时，请解答以下问题：

①设点E满足=λ（0≤λ≤1），则是否存在λ，使得平面EAC与平面PDC所成的锐角是？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由；

②设G是AD的中点，则在平面PBC上是否存在点F，使得FG⊥平面PBC？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由．

正确答案

证明：（1）∵PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD=A，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD，

∵PD⊥AD，AD∩AB=A，

∴PD⊥平面ABCD

（2）设PD=x，则AD=x，DC=6-2x，

∴PB2=x2+x2+（6-2x）2=6（x-2）2+12，当且仅当x=2时，PB2取得最小值，

即PB取得最小值，

以以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

设PD=AD=2，

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），

=（2，0，0），=（-2，-2，2），

=（2，-2，0），

①存在，事实上，==（2-2λ，-2λ，2λ），

设=（x，y，z）是平面ACE的一个法向量，

则，即，

取=（λ，λ，2λ-1），

则=（1，0，0）是平面PCD的一个法向量，

则cos=|cos＜＞|=||==，

∵00＜λ＜1，∴λ=1-，

②设存在点F符合题意，而点F在平面PBC上，于是存在m，n使，

=（-1+2m，2-2n，2n），

注意到等腰直角三角形PDC，斜边上的直线垂直于平面PBC，

则=（0，0，1）是平面PBC的一个法向量，

则∥，即，

解得m=n=，此时点F（1，1，1，），

故在平面PBC上是存在PB的中点F，使得FG⊥平面PBC．

解析

证明：（1）∵PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD=A，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD，

∵PD⊥AD，AD∩AB=A，

∴PD⊥平面ABCD

（2）设PD=x，则AD=x，DC=6-2x，

∴PB2=x2+x2+（6-2x）2=6（x-2）2+12，当且仅当x=2时，PB2取得最小值，

即PB取得最小值，

以以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

设PD=AD=2，

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），

=（2，0，0），=（-2，-2，2），

=（2，-2，0），

①存在，事实上，==（2-2λ，-2λ，2λ），

设=（x，y，z）是平面ACE的一个法向量，

则，即，

取=（λ，λ，2λ-1），

则=（1，0，0）是平面PCD的一个法向量，

则cos=|cos＜＞|=||==，

∵00＜λ＜1，∴λ=1-，

②设存在点F符合题意，而点F在平面PBC上，于是存在m，n使，

=（-1+2m，2-2n，2n），

注意到等腰直角三角形PDC，斜边上的直线垂直于平面PBC，

则=（0，0，1）是平面PBC的一个法向量，

则∥，即，

解得m=n=，此时点F（1，1，1，），

故在平面PBC上是存在PB的中点F，使得FG⊥平面PBC．

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