热门试卷

解：（1）证明：PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD；

∴CD⊥PA；

ABCD是矩形，∴CD⊥AD，AD∩PA=A；

∴CD⊥平面PAD，CD⊂平面PDC；

∴平面PDC⊥平面PAD；

（2）以A为坐标原点，边AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），E（0，2，1），G（2，3，0）；

为平面CAG的一条法向量，设平面EAG的法向量为，则：

；

∴，取y=2，则；

设二面角E-AG-C的大小为θ，则cosθ==；

∴；

即二面角E-AG-C的正切值为．

解：（Ⅰ）连接AC1，AB1，则MN∥AC1，BC⊥平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1；

∴BC⊥AC1，即AC1⊥BC，又AC1⊥A1C，A1C∩BC=C；

∴AC1⊥平面A1BC，∴MN⊥平面A1BC．

（Ⅱ）设AC1∩A1C=O，连接OB，则：∠C1BO即为直线BC1与平面A1BC所成角，在Rt△C1BO中：

；

∴，∴∠C1BO=30°；

∴直线BC1与平面A1BC所成角为30°．

（Ⅲ）过O作OE⊥A1B，交A1B于E，连接AE；

∵AC1⊥平面A1BC，∴A1B⊥AE；

∴∠OEA即为二面角A-A1B-C的平面角；

，∴OE=；

∴在Rt△AOE中，tan∠OEA=，∴∠OEA=60°；

∴二面角A-A1B-C的大小为60°．∬

解：（1）∵AC2+BC2=AB2

∴∠ACB=90°

过C作CG⊥平面ABC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CG为z轴建立直角坐标系，则A（，0，0），B（0，，0），C（0，0，0），D（，，0），E（0，，3），F（，0，3），H（0，，3λ）

∴=（-，，3λ-3），=（，，0），=（0，，3λ）

若FH⊥平面DHC，则2+3λ（3λ-3）=0，∴⇒λ1=，λ2=

（2）λ=，即H（0，，2），设平面DCF的一个法向量为（x，y，z），则

∵=（，，0），=（，0，3），

∴

∴取平面DCF的一个法向量为（1，-1，）

同理可得平面HCF的一个法向量为（，，1）

∴二面角D-CF-H余弦值==．

（1）证明：∵DQ∥BC且DQ=BC，∴四边形BCDQ是平行四边形，∴BQ∥CD，

∵CD⊥AD，∴BQ⊥AD，

∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD，

∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）解：设AC∩BQ=E，∵PA∥平面QBM，∴PA∥ME，∴．

（3）解：连接CQ，作MF⊥CQ于点F，作FG⊥BQ于点G，连接GM，

∵MF⊥CQ，PQ⊥CQ，∴PQ∥MF，

∵PQ⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，∴MF⊥平面ABCD，

∵FG⊥BQ，∴BQ⊥MG，∴二面角M-BQ-C的平面角为∠MGF，

∵，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∴二面角M-BQ-C的大小为．