热门试卷

（1）证明：分别取AB、AF中点M、H，连接FM、GH、DH，则有AG=GM，MF∥BE，

∵AH=HF，∴GH∥MF，

又∵CD∥BE，BE∥MF，

∴CD∥GH，

∴四边形CDHG是平行四边形，

∴CG∥DH，

又∵CG⊄平面ADF，DH⊂平面ADF，

∴CG∥平面ADF；…（4分）

（2）解：如图，以B为原点，分别以BC、BE、BA所直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，

则A（0，0，2），C（1，0，0），D（1，1，0），E（0，2，0），F（0，2，1），=（-1，1，0），

=（-1，-1，2），=（0，-2，1）；

设平面ADF的一个法向量为=（x，y，z），则有

•=-x-y+2z=0且•=（=-2y+z=0，

解得：x=3y，z=2y，

令y=1得：=（3，1，2），

设直线DE与平面ADF所成的角为θ，则有sinθ=||=．

所以直线DE与平面ADF所成的角的正弦值为 …（8分）

（3）解：由已知平面ADF的法向量=（3，1，2），=（0，2，1），

设平面BDF的一个法向量为=（x，y，z），=（1，1，0），

由•=2y+z=0且•=x+y=0   解得：z=-2y，x=-y；

令y=-1得：=（1，-1，2），

设锐二面角B-DF-A的平面角为α，

则cosα=|cos＜，＞|==，

所以锐二面角B-DF-A的余弦值为．…（12分）

（Ⅰ）证明：∵∠BCD=90°，BC=CD=，∴，∠BDC=45°

又由AB∥DC，可知∠ABD=∠BDC=45°，

∵AD=DB，∴∠BAD=∠ABD=45°，

∴∠ADB=90°，∴AD⊥DB．

∵FD丄底面ABCD，∴FD⊥DB．

又FD∩DB=D，∴AD⊥平面FBD，

∴AD⊥BF．

（Ⅱ）解：如图，以点C为原点，直线CD、CB、CE方向为x、y、z轴建系．

可得D，，，，．

又∵N恰好为BF的中点，∴，，．

设M（0，0，z0），∴．

又∵，，可得z0=1．

∴M（0，0，1），故M为线段CE的中点．

设平面BMF的一个法向量，且=，

，由，可得，

令x=1，则y=-1，z=-．得．

又∵平面MFC的一个法向量为，

∴==-．

由图可知：二面角B-MF-C为锐角．

故所求二面角B-MF-C的余弦值为．

（1）证明：∵AB⊥AC，面ACC1A1⊥面ABC，

∴AB⊥面ACC1A1，即有AB⊥CD；

又AC=A1C，D为AA1中点，则CD⊥AA1

∴CD⊥面ABB1A1…（4分）

（2）解：如图所示建立空间直角坐标系C-xyz，设AB=a，

则有A（a，0，0），B（，a，0），A1（0，0，a），B1（0，a，a）C1（-a，0，a），

设E（x′，y′，z′），且，即有（x′-a，y′-a，z′）=λ（-a，0，a），

所以E点坐标为（（1-λ）a，a，λa）．…（7分）

由条件易得面A1C1A的一个法向量为=（0，1，0），

设平面EA1C1地一个法向量为=（x，y，z），则

令y=1，则有=（0，1，），…（10分）

则=，得λ=

所以，当E是侧棱BB1的中点时，二面角E-A1C1-A的平面角的余弦值为．…（12分）

解：（1）证明：在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90°

即AB⊥BD（2分）

在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．（4分）

又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B

∴DC⊥平面ABC．（5分）

（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点

∴EF∥CD，又由（1）知，DC⊥平面ABC，

∴EF⊥平面ABC，垂足为点E

∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角（7分）

在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°

设CD=a则，，   （9分）

∴在Rt△FEB中，

即BF与平面ABC所成角的正弦值为．（10分）

解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，

设CD=a，则BD=AB=2a，，（6分）

可得B（0，0，0），D（2a，0，0），A（0，0，2a），，F（a，0，a），

∴，（8分）

设BF与平面ABC所成的角为θ

由（1）知DC⊥平面ABC

∴

∴（10分）

（3）由（2）知FE⊥平面ABC，

又∵BE⊂平面ABC，AE⊂平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，

∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角（12分）

在△AEB中，

∴

即所求二面角B-EF-A的余弦为．（14分）（其他解法请参照给分）