热门试卷

解：（1）①∵AB∥CD，∴∠PBA是PB与CD所成的角，则∴∠PBA=45°

所以在直角三角形PAB中，PA=AB=a，

．（3分）

②∵AB⊥AD，CD∥AB，

∴CD⊥AD，又PA⊥ABCD，

∴PA⊥CD，∴CD⊥PAD，

∴CD⊥PD，

∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，

在直角三角形PDA中，PA=AD=a，

∴∠PDA=45°，即二面角P-CD-B为450．（7分）

（2）当点E在线段PC上，且PE：EC=2：1时，

平面EBD垂直平面ABCD理由如下：

连AC、BD交于O点，连EO．

由△AOB∽△COD，且CD=2AB

∴CO=2AO∴PE：EC=AO：CO=1：2

∴PA∥EO．…（11分）

∵PA⊥底面ABCD，

∴EO⊥底面ABCD．

又EO在平面EBD内，

∴平面EBD垂直于平面ABCD．…（13分）

证明：（Ⅰ）∵PA垂直矩形底面ABCD，

∴PA垂直BD，

∵，

a=1，

∴AB=PA=BC，

∴底面ABCD为正方形，

∴BD垂直于AC，

∴BD垂直于△PAC，

∴BD⊥PC．

解：（Ⅱ）∵AB，AD，AP两两垂直，分别以它们所在的直线为x轴，y轴，z轴，

建立坐标系

令AB=1，则BC=a，

B（1，0，0），D（0，a，0），C（1，a，0），P（0，0，1），

设BQ=m，Q（1，m，0），（0≤m≤a），

要使PQ⊥QD，只要，

即m2-am+1=0，

由△=a2-4=0，得a=2，此时m=1．

∴BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD时，

Q为BC的中点，且a=2，

设面PQD的法向量，

则，即，

∴，

取面PAD的法向量，

则＜＞的大小与三面角A-PD-Q的大小相等，

∵cos＜＞==，

∴二面角A-PD-Q的余弦值为．

解：如图，

（1）∵平面ABD⊥平面BCD，DC在平面BCD上，而且CD⊥BD，

∴CD⊥平面ABD，

∴CD⊥AD，

已知CD⊥BD，

∴∠ADB是二面角A-DC-B的平面角，

∵△ABD为等边三角形，

∴二面角A-DC-B=∠ADB=60°；

（2）过点A作BD的垂线交BD于E点，则AE⊥面BCD，AE⊥BC，

过E作BC的垂线交BC于F点，则BC⊥面AEF，

∴AF⊥BC，

∴∠AFE是二面角A-BC-D的平面角，

∴tan∠AFE=；

（3）过点D作AB的垂线交AB于G点，连接GC，

∵CD⊥平面ABD，△ACD和△BCD均为直角三角形，且BD=AD，CD为公共边，

∴△ACD≌△BCD，

∴AC=BC，

∵ABD为等边三角形，DG⊥AB，

∴G为AB中点，

∴CG⊥AB，

∴∠CGD是二面角D-AB-C的平面角，

∵CD⊥平面ABD，

∴CD⊥DG，

∵∠DBC=30°，设，

则BD=3，可得，

∴tan∠CGD=．

证明：（1）连结ED交AC于O，连结OF，

因为AECD为菱形，OE=OD，

所以FO∥B1E，

所以B1E∥平面ACF．…（4分）

（2）取AE的中点M，连结B1M，连结MD，则∠AMD=90°，

分别以ME，MD，MB1为x，y，z轴建系，

则E（，0，0），C（a，a，0），A（-，0，0），D（0，a，0），

B1（0，0，a），

则=（-，0，a），=（，a，0），=（，0，a），

设面ECB1的法向量为=（x，y，z），

则，令x=1，则=（1，-，），…（8分）

同理面ADB1的法向量为=（1，-，-）…（10分）

所以cos＜，＞==，

故平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值为   …（12分）