二面角的平面角及求法
共2160题

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题型：简答题

简答题

矩形ABCD中，AB=4，AD=3，沿对角线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好落在AB上，求这二面角B-AC-D的余弦值．

正确答案

解：作ED⊥AC，OD⊥面ABC

∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3，

∴∵ED⊥AC，OD⊥面ABC，

∴ED⊥AC，OD⊥AC，

∴AC⊥面ODE，

∴OE⊥AC，

在Rt△EO中，AE=，tan∠OAE=，

∴=，OE=，

cos∠OED===，

故二面角B-AC-D的余弦值．

解析

解：作ED⊥AC，OD⊥面ABC

∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3，

∴∵ED⊥AC，OD⊥面ABC，

∴ED⊥AC，OD⊥AC，

∴AC⊥面ODE，

∴OE⊥AC，

在Rt△EO中，AE=，tan∠OAE=，

∴=，OE=，

cos∠OED===，

故二面角B-AC-D的余弦值．

题型：单选题

单选题

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，高为1，过顶点A作一平面α与侧面BCC1B1交于EF，且EF∥BC．若平面α与底面ABC所成二面角的大小为x，四边形BCEF面积为y，则函数y=f（x）的图象大致是（　　）

正确答案

解析

解：如图过A作AM∥BC，H，G是BC，EF中点，则 AH⊥BC，∴AH⊥AM，在等腰三角形△AEF中，AG⊥EF，∵EF∥BC．∴AG⊥AM，∴∠GAH是平面α与底面ABC所成二面角的平面角．∴∠GAH=x，tanx=，∴GH=tanx

∴四边形BCEF面积为y=f（x）=BC×GH=2tanx，根据正切函数图象可知C符合．

故选C

题型：简答题

简答题

已知：α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1，已知AB=2，，

求：二面角A1-AB-B1的大小的正弦值．

正确答案

解：∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α．

在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，

∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．

在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，

∴AB1=B1B=．

∴Rt△AA1B中，A1B===．

由AA1•A1B=A1F•AB得A1F===，

∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==，

∴二面角A1-AB-B1的正弦值为．

解析

解：∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α．

在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，

∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．

在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，

∴AB1=B1B=．

∴Rt△AA1B中，A1B===．

由AA1•A1B=A1F•AB得A1F===，

∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==，

∴二面角A1-AB-B1的正弦值为．

题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥底面 ABCD，E在棱PD上，且AE⊥PD．

（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面PCD；

（Ⅱ）已知AE与底面ABCD所成角为60°，求二面角C-BE-D的正切值．

正确答案

（I）证明：∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AE，

又AE⊥PD，

∴AE⊥平面PCD．

∵AE⊂平面ABE，

∴平面ABE⊥平面PCD；

（II）解：在平面PAD中，过点A作AD的垂线，作为z轴，以AB为x轴，AD为y轴．建立空间直角坐标系A-xyz，

则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．

∵平面PAD⊥底面ABCD，

∴∠EAD即为AE与底面ABCD所成角为60°，∴．

=（-2，2，0），=，

设平面BED的法向量为=（x，y，z），∴，，

取=．

同理利用，可得平面BCE的法向量=，

由===，

∴二面角C-B E-D的正切值为．

解析

（I）证明：∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AE，

又AE⊥PD，

∴AE⊥平面PCD．

∵AE⊂平面ABE，

∴平面ABE⊥平面PCD；

（II）解：在平面PAD中，过点A作AD的垂线，作为z轴，以AB为x轴，AD为y轴．建立空间直角坐标系A-xyz，

则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．

∵平面PAD⊥底面ABCD，

∴∠EAD即为AE与底面ABCD所成角为60°，∴．

=（-2，2，0），=，

设平面BED的法向量为=（x，y，z），∴，，

取=．

同理利用，可得平面BCE的法向量=，

由===，

∴二面角C-B E-D的正切值为．

题型：简答题

简答题

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为3的正方形，SD丄底面ABCD，SB=，点E、G分别在AB、SC上，且．

（1）证明：BG∥平面SDE；（2）求面SAD与面SBC所成二面角的大小．

正确答案

证明：（1）在SD上取点F，使SF=SD，连接FG，FE，

由CG=SC，得FG∥CD，且FG=CD

又AE=AB，得BE∥CD，且BE=CD

∴FG=BE，FG∥BE

∴BG∥FE

∵FE⊂平面SDE，BG⊄平面SDE

∴BG∥平面SDE…5分

（2）连接BD，在正方形ABCD中，BC=3，∴BD=3

∵SD丄底面ABCD，

∴SD⊥BD，又SB=，

∴SD=3…6分

又平面SAD⊥平面ABCD，平面SCD⊥平面ABCD，

∴BC⊥SC，BA⊥平面SAD，CD⊥平面SAD

设平面SAD与平面ABC所成的二面角的平面角为θ…9分

则cosθ===

∴θ=

即平面SAD与平面ABC所成的二面角的平面角为…12分

解析

证明：（1）在SD上取点F，使SF=SD，连接FG，FE，

由CG=SC，得FG∥CD，且FG=CD

又AE=AB，得BE∥CD，且BE=CD

∴FG=BE，FG∥BE

∴BG∥FE

∵FE⊂平面SDE，BG⊄平面SDE

∴BG∥平面SDE…5分

（2）连接BD，在正方形ABCD中，BC=3，∴BD=3

∵SD丄底面ABCD，

∴SD⊥BD，又SB=，

∴SD=3…6分

又平面SAD⊥平面ABCD，平面SCD⊥平面ABCD，

∴BC⊥SC，BA⊥平面SAD，CD⊥平面SAD

设平面SAD与平面ABC所成的二面角的平面角为θ…9分

则cosθ===

∴θ=

即平面SAD与平面ABC所成的二面角的平面角为…12分

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