热门试卷

解：（Ⅰ）证明：易知在梯形ABCD中，，而PD=1，AP=2，则PD⊥PA

同理PD⊥PB，故PD⊥面PAB；…（6分）

（Ⅱ）取AB中点M，连PM，DM，

作PN⊥DM，垂足为N，再作NH⊥BC，连HN．

易得AB⊥面DPM，则面ABCD⊥面DPM

于是PN⊥面ABCD，BC⊥面NPH

即∠NHP二面角P-CB-A的平面角．

在△NHP中，，∴，

故二面角A-PB-C的平面角的余弦值为…（14分）

证明：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD

∵ABCD为正方形∴AC⊥BD

∴BD⊥平面PAC

又BD在平面BPD内，

∴平面PAC⊥平面BPD      （6分）

解：（2）在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N，连DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND为二面角B-PC-D的平面角，

在△BND中，BN=DN=，BD=

∴cos∠BND=

解：由条件，知，=．

∴||2=62+42+82+2×6×8cos＜，＞=（2）2，

∴cos＜，＞=-，即＜，＞=120°，

∴二面角的大小为60°．

法一：

（Ⅰ）证明：连接AC，在△CPA中EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD

（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD平面PAD∩面ABCD=ADCD⊥AD

所以，CD⊥平面PAD∴CD⊥PA，

又，所以△PAD是等腰直角三角形，且，

即PA⊥PD．又CD∩PD=D，且CD⊂面ABCD，PA⊂面ABCD，∴PA⊥面PDC

又PA⊂面PAD，∴面PAD⊥面PDC．

（Ⅲ）解：设PD的中点为M，连接EM，MF，则EM⊥PD

由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B-PD-C的平面角．

在Rt△FEM中，，，，故所求二面角的正切值为．

法二：

如下图，取AD的中点O，连接OP，OF．

∵PA=PD，∴PO⊥AD．

∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴∴PO⊥平面ABCD，

而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．∵，∴PA⊥PD，．

以O为原点，直线OA，OF，OP为x，y，z轴建立空间直线坐标系，则有，，，，，．

∵E为PC的中点，∴．

（Ⅰ）易知平面PAD的法向量为而，

且，∴EF∥平面PAD．

（Ⅱ）∵，∴，

∴，从而PA⊥CD，又PA⊥PD，PD∩CD=D，

∴PA⊥平面PDC，而PA⊂平面PAD，∴平面PDC⊥平面PAD

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为．

设平面PBD的法向量为．∵，

∴由可得，令x=1，则y=1，z=-1，

故∴，

即二面角B-PD-C的余弦值为，二面角B-PD-C的正切值为．