二面角的平面角及求法
共2160题

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二面角的平面角及求法
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题型：简答题

简答题

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F在A1B1上．

（1）若DE⊥CF，求A1F的长；

（2）求二面角C-C1D-E的余弦值．

正确答案

解（1）以D点为坐标原点，DA、DC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则

D（0，0，0），E（1，2，0），C1（0，2，2），C（0，2，0），，，

设A1F=x，得F（2，x，2），=（2，x-2，2），

当DE⊥CF时，，即2+2（x-2）=0，

解之得x=1，所以A1F的长为1． …（5分）

（2）设平面DEC1的一个法向量为，

由得2y1+2z1=0，

再由得x1+2y1=0，

令y1=-1得x1=2，z1=1，所以平面DEC1的一个法向量为． …（7分）

易得平面DCC1的一个法向量为，…（8分）

设二面角C-C1D-E的平面角为θ，则=，

所以二面角C-C1D-E的余弦值为． …（10分）

解析

解（1）以D点为坐标原点，DA、DC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则

D（0，0，0），E（1，2，0），C1（0，2，2），C（0，2，0），，，

设A1F=x，得F（2，x，2），=（2，x-2，2），

当DE⊥CF时，，即2+2（x-2）=0，

解之得x=1，所以A1F的长为1． …（5分）

（2）设平面DEC1的一个法向量为，

由得2y1+2z1=0，

再由得x1+2y1=0，

令y1=-1得x1=2，z1=1，所以平面DEC1的一个法向量为． …（7分）

易得平面DCC1的一个法向量为，…（8分）

设二面角C-C1D-E的平面角为θ，则=，

所以二面角C-C1D-E的余弦值为． …（10分）

题型：填空题

填空题

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则平面B1D1E与平面ABCD所成的二面角的余弦值为______．

正确答案

解析

解：如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1

则D1（0，0，1），B1（1，1，1），E（，1，0），=（1，1，0）=（，1，-1）

设平面B1D1E的法向量为=（x，y，z），则，

即取=（2，-2，-1），

∵D1D⊥平面ABCD，

∴平面ABCD的法向量为，且=（0，0，1）

∴cos＜，＞===-，

由图可知平面B1D1E与平面ABCD所成的二面角为锐角，

∴平面B1D1E与平面ABCD所成的二面角的余弦值为

题型：单选题

单选题

圆O所在平面为α，AB为直径，C是圆周上一点，且PA⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，PA=，AB=2，∠ABC=30°，设直线PC与平面ABC所成的角为θ、二面角P-BC-A的大小为φ，则θ、φ分别为（　　）

A60°，30°

B30°，30°

C60°，60°

D30°，60°

正确答案

解析

解：∵∠ACB是⊙O的直径所对的圆周角，∴∠ACB=90°．∴BC⊥AC．

∵PA⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，

∴PA⊥平面ABC．

∴BC⊥AC，∠PCA是直线PC与平面ABC所成的角，即∠PCA=θ．

∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角，即∠PCA=φ，因此θ=φ．

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2．

∴AC=1．

在Rt△ABC中，PA=，∴，

∴∠PCA=60°．

∴θ=φ=60°．

故选C．

题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD上一点，且PD=3PE．

（Ⅰ）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；

（Ⅱ）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

正确答案

解：（I）取AB的中点O，连接PO，OC

∵△PAB为边长为2的正三角形，

∴PO⊥AB

又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB

∴PO⊥平面ABCD，

又∵PC⊥AB，PO∩PC=P，PO，PC⊂平面POC

∴AB⊥平面POC

又∵OC⊂平面POC

∴AB⊥OC

以O为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，

则A（-1，0，0），C（0，，0），P（0，0，），D（-2，，0），B（1，0，0），

∵PD=3PE，

∴E（，，）

则=（2，0，0），=（，-，），

则||=，

则cos＜，＞===-，

即异面直线AB与CE所成角的余弦值为．

（2）设平面PAC的法向量为=（x，y，z），

∵=（1，，0），=（0，-，），

∴由，即，

令z=1，则y=1，x=，

即=（，1，1），

平面ABCD的法向量为=（0，0，1），

则cos＜，＞===，

故平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为．

解析

解：（I）取AB的中点O，连接PO，OC

∵△PAB为边长为2的正三角形，

∴PO⊥AB

又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB

∴PO⊥平面ABCD，

又∵PC⊥AB，PO∩PC=P，PO，PC⊂平面POC

∴AB⊥平面POC

又∵OC⊂平面POC

∴AB⊥OC

以O为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，

则A（-1，0，0），C（0，，0），P（0，0，），D（-2，，0），B（1，0，0），

∵PD=3PE，

∴E（，，）

则=（2，0，0），=（，-，），

则||=，

则cos＜，＞===-，

即异面直线AB与CE所成角的余弦值为．

（2）设平面PAC的法向量为=（x，y，z），

∵=（1，，0），=（0，-，），

∴由，即，

令z=1，则y=1，x=，

即=（，1，1），

平面ABCD的法向量为=（0，0，1），

则cos＜，＞===，

故平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为．

题型：简答题

简答题

已知矩形ACC1A1中，AA1=2，AC=4，B是AC上动点，过B作交A1C1于B1，沿BB1将矩形BCC1B1折起，连接AC，A1C1．

（1）求三棱柱体积的最大值．

（2）满足条件（1）时，D为AC中点，求证AC1⊥面A1BD．

（3）满足条件（1）（2）时，E为CC1中点，求二面角A1-BD-E的大小．

正确答案

（1）解：依题意，三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，其体积V=S△ABC×AA1．

而．

因为|AB|+|BC|为定值，所以当|AB|=|AC|时，|AB||BC|最大．

要使体积最大，即△ABC面积最大，只有当∠ABC=90°时，面积最大．

此时．

所以三棱柱体积的最大值为2×2=4；

（2）证明：满足（1）时，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，D为斜边AC的中点，

则，

则∠AA1D=∠CAC1那么∠CAC1+∠ADA1=∠AA1D+∠ADA1=90°，所以AC1⊥A1D

又BD⊥AC，面ACC1A1⊥面ABC，所以BD⊥面ACC1A1，而AC1⊂面ACC1A1，

所以AC1⊥BD，又A1D∩BD=D．所以AC1⊥平面A1BD

（3）解：由（2）知∠A1DE为二面角A1-BD-E所成的平面角．　

，

=3．

在三角形A1DE中，，则∠A1DE=90°

所以二面角A1-BD-E的大小为90°．

解析

（1）解：依题意，三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，其体积V=S△ABC×AA1．

而．

因为|AB|+|BC|为定值，所以当|AB|=|AC|时，|AB||BC|最大．

要使体积最大，即△ABC面积最大，只有当∠ABC=90°时，面积最大．

此时．

所以三棱柱体积的最大值为2×2=4；

（2）证明：满足（1）时，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，D为斜边AC的中点，

则，

则∠AA1D=∠CAC1那么∠CAC1+∠ADA1=∠AA1D+∠ADA1=90°，所以AC1⊥A1D

又BD⊥AC，面ACC1A1⊥面ABC，所以BD⊥面ACC1A1，而AC1⊂面ACC1A1，

所以AC1⊥BD，又A1D∩BD=D．所以AC1⊥平面A1BD

（3）解：由（2）知∠A1DE为二面角A1-BD-E所成的平面角．　

，

=3．

在三角形A1DE中，，则∠A1DE=90°

所以二面角A1-BD-E的大小为90°．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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