- 二面角的平面角及求法
- 共2160题
从空间一点P向二面角α-1-β的两个平面作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF=60°，则二面角的平面角的大小为（ ）
正确答案
解析
解：∠EPF=60°就是两个平面α和β的法向量的夹角，
它与二面角的平面角相等或互补，
故二面角的平面角的大小为60°或120°．
故选：C．
如图所示，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=
（1）若AE=1，则在线段CF上是否存在一点G，使得DG∥平面ABC，若存在，求此时线段CG的长度；若不存在，请说明理由．
（2）当三棱锥F-ABE的体积最大时，求平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．
正确答案
解：（1）当AE=1，则在线段CF上存在一点G，使得DG∥平面ABC，此时线段CG=2．
下面给出证明：取CG=2，连接CG，GB．
∵四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，∴AB∥CD．
∵EF∥AD，∴四边形AEFD是矩形．
同理ABGD是矩形．
∴BG∥EF∥AD，BG=EF=AD，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴DG∥AB．
又DG⊄平面ABC，AB⊂平面ABC．
∴DG∥平面ABC．
（2）∵EF⊥AB，∴EF⊥平面ABE．
设AE=x，则VF-ABE=
∵沿EF将面EBCF折起，使得CF⊥AE，而AE∥FD，
∴CF⊥FD，
又CF⊥FE，FE∩FD=F，∴CF⊥平面AEFD．
∵BE∥CF，∴BE⊥平面AEFD．
延长CB、FE相交于点M，连接AM，过E点作EN⊥AM，垂足为点N，连接BN．
则∠BNE是平面ABC与平面AEFD所成锐二面角．
∵BE∥CF，∴
在Rt△MEA中，EM=EA=1，∴EN=
在Rt△BEN中，cos∠ENB=
解析
解：（1）当AE=1，则在线段CF上存在一点G，使得DG∥平面ABC，此时线段CG=2．
下面给出证明：取CG=2，连接CG，GB．
∵四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，∴AB∥CD．
∵EF∥AD，∴四边形AEFD是矩形．
同理ABGD是矩形．
∴BG∥EF∥AD，BG=EF=AD，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴DG∥AB．
又DG⊄平面ABC，AB⊂平面ABC．
∴DG∥平面ABC．
（2）∵EF⊥AB，∴EF⊥平面ABE．
设AE=x，则VF-ABE=
∵沿EF将面EBCF折起，使得CF⊥AE，而AE∥FD，
∴CF⊥FD，
又CF⊥FE，FE∩FD=F，∴CF⊥平面AEFD．
∵BE∥CF，∴BE⊥平面AEFD．
延长CB、FE相交于点M，连接AM，过E点作EN⊥AM，垂足为点N，连接BN．
则∠BNE是平面ABC与平面AEFD所成锐二面角．
∵BE∥CF，∴
在Rt△MEA中，EM=EA=1，∴EN=
在Rt△BEN中，cos∠ENB=
正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1、BB1上分别有M、N两点，使2A1M=A1B1，B1N=AB，则截面C1MN与上底面A1B1C1所成角的大小______．
正确答案
45°
解析
解：不妨设A1M=a，则A1B1=B1N=AB=2a，∴△C1MN中，MN=C1M=
∴S△C1MN=
∵S△A1B1C1=
∴截面C1MN与上底面A1B1C1所成角的余弦值为
∴截面C1MN与上底面A1B1C1所成角的大小为45°
故答案为：45°
正确答案
30°
解析
解：如图，因为SD⊥面ABCD，且底面是正方形，
所以AB⊥AD，AB⊥SD，且SD∩AD=D，
所以AB⊥面SAD，所以SA⊥AB，
故∠SAD就是二面角S-AB-C的平面角，
在直角三角形SAD中，由已知得SD=
故tan∠SAD=
所以∠SAD=30°．
故答案为：30°．
在四面体ABCD中，已知棱AC的长为
正确答案
60°
解析
解：∵AB=AD=BD=BC=CD=2，AC=
做AE垂直BD于E，则E为BD的中点，连接CE
则CE⊥BD
∠AEC就是A-BD-C的二面角
∵AE=CE=AC=
∴△ACE是正三角形
所以∠AEC=60°
即二面角A-BD-C的大小为60°
故答案为：60°．
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