热门试卷

解：（1）假设AP能与平面A1BC垂直，则AP⊥BC，

由直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥BC，又AA1∩AP=A，可得BC⊥平面AA1B，

∴BC⊥AB，与已知∠ABC=120°矛盾，

因此假设不成立，

故P在棱A1B上的什么位置：不可能有AP⊥平面A1BC垂直．

（2）设点E是A1C1的中点，分别以DB，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．

则D（0，0，0），B（1，0，0），A（0，-，0），A1．

=（1，0，0），=，

设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），则，

取=，

取平面BDB1的法向量为=（0，1，0）．

∴===．

解：（I）连接CD1，

∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1且B1C1∥BC，B1C1=BC

∴四边形A1D1BC是平行四边形，可得CD1∥A1B

∵△C1CD1中，EF是中位线，∴EF∥CD1∴EF∥A1B-----（3分）

∵EF⊄面ABB1A1，A1B⊆面ABB1A1

∴EF∥平面A1BD；…（6分）

（II）连接AC与BD相交于点O，连接A1O，EO

∵AA1⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，∴BD⊥AA1∵菱形ABCD中，AC⊥BD，AC、AA1是平面AA1C1C内的相交直线，

∴BD⊥平面AA1C1C

∵A1O、EO⊆平面AA1C1C，∴A1O⊥BD、EO⊥BD

∴∠A1OE就是二面角A1-BD-E的平面角，

因此，要使A1-BD-E为直二面角，即∠A1OE=90°，可得∠A1OA+∠EOC=90°

∴∠OEC=∠A1OA=90°-∠EOC，结合∠A1AO=∠OCE=90°，得△A1AO～△OCE．

设CE=x，所以=，…（*）

∵四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形，AB=2

∴AO=OC=AC=，

又因为AA1=4，代入（*）可得，解之得

∴当CE的长度为时，二面角A1-BD-E为直二面角．…（12分）

解：（1）证明，取CD中点O，连OA、OP，

∵面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，

∴PO⊥面ABCD，即AO为PA在面ABCD上的射影，又在菱形ABCD中，∠ADC=60°，O为CD中点∴AO⊥CD，∴PA⊥CD．

（2）∵AD∥BC

∴∠PBC是PB和AD所成的角，

在△PBC中，PC=BC=2

PB=

故cos∠PBC==

故异面直线PB和AD所成角的余弦值为．

（3）由O引OG⊥AD于G，连PG，则PG⊥AD，∠PGO为二面角P-AD-C为平面角，

，

即二面角P-AD-C的正切值为2．

（Ⅰ）通过条件可知=、∠DAB=∠DAA1，利用=即得A1B⊥AD；

（Ⅱ）解：设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1，

由题意知DO⊥平面ABB1A1．

因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B，

故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴

的正方向建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示．

设AD=AB=2BC=2a，由∠A1AB=60°可知|0B|=a，，

所以=a，从而A（0，a，0），B（a，0，0），

B1（0，a，0），D（0，0，a），所以==（-a，a，0）．

由可得C（a，a，a），所以=（a，a，-a），

设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），

由•=•=0，得，

取y0=1，则x0=，z0=，所以=（，1，）．

又平面ABB1A1的法向量为=D（0，0，a），

所以===，

故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．