热门试卷

解：（1）在图1中，过C作CF⊥EB，垂足为F，连结CE

∵DE⊥EB，CD∥AB，∴四边形CDEF是矩形，

∵CD=1，∴EF=1．

∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，

∴AE=BF=（AB-CD）=1．

∵∠BAD=45°，∴Rt△ADE中，DE=AE=1，

可得四边形CDEF为边长等于1的正方形

因此，CE=CB=，

由此可得△BCE中，CE2+CB2=4=BE2

∴∠BCE=90°，可得BC⊥CE

∵在图2中，AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，

∴AE⊥平面BCDE．

∵BC⊂平面BCDE，∴AE⊥BC．         

∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．    

（2）过点F作FH⊥AB于H，连结CH

∵AE⊥平面BCDE，AE⊂平面ABE，

∴平面ABE⊥平面BCDE，

∵CF⊥BE，CF⊂平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，

∴CF⊥平面ABE，可得FH是CH在平面ABE内的射影

∵FH⊥AB，∴CH⊥AB，可得∠FHC就是二面角C-AB-E的平面角

由Rt△AEB∽Rt△FHB，可得

即，可得FH=

Rt△FHC中，tan∠FHC==

∴二面角C-AB-E的正切值等于；

（3）反证法：假设EM∥平面ACD．                          

∵EB∥CD，CD⊂平面ACD，EB⊄平面ACD，

∴EB∥平面ACD．

∵EB∩EM=E，∴平面AEB∥平面ACD                         

结合题意，平面AEB与平面ACD是相交的平面，矛盾．

∴假设不成立，可得EM与平面ACD不平行．

证明：（Ⅰ）取PC的中点F，连接EF，AF，

则EF∥CD．

因为AC=AP=2

所以PC⊥AF．…1分

因为 PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD

所以 PA⊥CD

又 AC⊥CD

所以 CD⊥平面PAC…3分

因为PC⊂平面PAC，所以 CD⊥PC；

又 EF∥CD，所以 EF⊥PC；

又因为 PC⊥AF，AF∩EF=F；

所以 PC⊥平面AEF…5分

因为AE⊂平面AEF，所以 PC⊥AE…6分

（注：也可建系用向量证明）

（Ⅱ）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．

则B（0，0，0），A（0，1，0），，，，P（0，1，2），．

…8分

设平面ACE的法向量为=（x，y，z），则，

所以

令x=1．所以=（1，，-2）． …9分

由（Ⅰ）知CD⊥平面PAC，AF⊂平面PAC，

所以CD⊥AF．

同理PC⊥AF．所以AF⊥平面PCE

所以平面PCE的一个法向量==（，，1）． …10分

所以cos＜＞==，…11分

由图可知，二面角A-CE-P为锐角，

所以二面角A-CE-P的余弦值为． …12分．

（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．

又BC∥AD，因此AE⊥AD．

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．

而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD 且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=2，AP=a，则A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（），

所以=（，-1，-a），且=（，0，0）为平面PAD的法向量，

设直线PB与平面PAD所成的角为θ，

由sinθ=|cos＜，＞|===解得a=2．

所以=（，0，0），=（，，1）

设平面AEF的一法向量为=（x1，y1，z1），则

取z1=-1，则=（0，2，-1），

因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量，又=（-，3，0），

所以cos＜，＞==．

因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．