二面角的平面角及求法
共2160题

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二面角的平面角及求法
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题型：填空题

填空题

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为1，底面ABC为直角三角形，AB=AC=1，∠BAC=90°．则二面角B1-AC-B的大小为______；点A到平面BCC1B1的距离等于______．

正确答案

45°

解析

解：直三棱柱ABC-A1B1C1中，∵∠BAC=90°，∴CA⊥平面ABB1A1，∴∠B1AB就是二面角B1-AC-B的平面角．

Rt△B1AB中，tan∠B1AB===1，∴∠B1AB=45°．

取等腰直角三角形ABC的斜边BC的中点D，则AD⊥平面BCC1B1 ，故AD即为所求．

故AD===，

故答案为45°，．

题型：简答题

简答题

已知四棱椎S-ABCD中，底面是边长为2的正方形，每条侧棱长都是，P是侧棱SD上的点．

（1）求证：AC⊥SD；

（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小．

正确答案

解：（I）连接BD交AC于点O，连接SO

∵△ACS中，SA=SC=2，O是AC中点，∴AC⊥SO

又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，SO∩BD=O

∴AC⊥平面SBD，

∵SD⊂平面SBD，∴AC⊥SD；

（Ⅱ）∵正方形ABCD边长为2，SD=2

∴OD=×2=，

可得Rt△SDO中，cos∠SDO==，得∠SDO=60°，

连结OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，

∴AC⊥OP，且AC⊥OD，

所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．

∵SD⊥平面PAC，可得SD⊥OP，

∴Rt△POD中，∠POD=90°-∠SDO=30°，即二面角P-AC-D的大小为30°．

解析

解：（I）连接BD交AC于点O，连接SO

∵△ACS中，SA=SC=2，O是AC中点，∴AC⊥SO

又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，SO∩BD=O

∴AC⊥平面SBD，

∵SD⊂平面SBD，∴AC⊥SD；

（Ⅱ）∵正方形ABCD边长为2，SD=2

∴OD=×2=，

可得Rt△SDO中，cos∠SDO==，得∠SDO=60°，

连结OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，

∴AC⊥OP，且AC⊥OD，

所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．

∵SD⊥平面PAC，可得SD⊥OP，

∴Rt△POD中，∠POD=90°-∠SDO=30°，即二面角P-AC-D的大小为30°．

题型：简答题

简答题

（2015•安徽三模）如图，△ABC与△BCD都是边长为2的正三角形，AD=，PA⊥平面ABC

（1）求证：PA∥平面BCD；

（2）若PA=2，求平面ABC与平面PBD所成的二面角的正弦值．

正确答案

（1）证明：取CB的中点F，连接AF，DF，则AF=DF=，

∵AD=，

∴AF2+DF2=AD2，

∴AF⊥DF，

∵DF⊥BC，AF∩平面BC=F，

∴DF⊥平面ABC，

∵PA⊥平面ABC，

∴PA∥DF，

∵PA⊄平面BCD，DF⊂平面BCD，

∴PA∥平面BCD；

（2）解：延长AF与PD延长线交于点E，连CO，

则EO是平面ABC与面PCD的交线，F是BAE的中点，

作FO⊥BE，连接DO，则∠DOF为平面ABC与平面PBD所成二面角的平面角

在△DOF中，DF=，OF=1，DO=2

∴平面ABC与平面PBD所成二面角的正弦值为．

解析

（1）证明：取CB的中点F，连接AF，DF，则AF=DF=，

∵AD=，

∴AF2+DF2=AD2，

∴AF⊥DF，

∵DF⊥BC，AF∩平面BC=F，

∴DF⊥平面ABC，

∵PA⊥平面ABC，

∴PA∥DF，

∵PA⊄平面BCD，DF⊂平面BCD，

∴PA∥平面BCD；

（2）解：延长AF与PD延长线交于点E，连CO，

则EO是平面ABC与面PCD的交线，F是BAE的中点，

作FO⊥BE，连接DO，则∠DOF为平面ABC与平面PBD所成二面角的平面角

在△DOF中，DF=，OF=1，DO=2

∴平面ABC与平面PBD所成二面角的正弦值为．

题型：简答题

简答题

已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起到如图所示PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD．

（1）求证：CD⊥PB；

（2）求二面角P-BC-D的大小（用反三角函数表示）；

（3）求点D到平面PBC的距离．

正确答案

（1）证明：∵∠BAD=45°，AD=AB，∴∠ADB=∠ABD=45°

∵AD∥BC，∠BCD=45°，∴BD⊥DC

∵平面PBD⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面PBD，∵PB⊂平面PBD，∴CD⊥PB；

（2）解：过P作PE⊥BD于E，由平面PBD⊥平面BCD得，PE⊥平面BCD，

过E作EF⊥BC于F，连结PF，由三垂线定理可证PF⊥BC

∴∠PFE为二面角P-BC-D的平面角，

∵PB=PD=1．

∴PE=BE=，EF=，在Rt△PEF中

∠PEF=90°，，

∴二面角P-BC-D的大小为；

（3）解：设D到平面PBC的距离为h，

由PB=1求得BD=DC=，BC=2，PC=

由PB⊥PD，PB⊥CD，∴PB⊥平面PCD，

∵PC⊂平面PCD，∴PB⊥PC

∵VC-PBD=VD-PBC

∴

=，则可得：

，即D到平面PBC的距离为．

解析

（1）证明：∵∠BAD=45°，AD=AB，∴∠ADB=∠ABD=45°

∵AD∥BC，∠BCD=45°，∴BD⊥DC

∵平面PBD⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面PBD，∵PB⊂平面PBD，∴CD⊥PB；

（2）解：过P作PE⊥BD于E，由平面PBD⊥平面BCD得，PE⊥平面BCD，

过E作EF⊥BC于F，连结PF，由三垂线定理可证PF⊥BC

∴∠PFE为二面角P-BC-D的平面角，

∵PB=PD=1．

∴PE=BE=，EF=，在Rt△PEF中

∠PEF=90°，，

∴二面角P-BC-D的大小为；

（3）解：设D到平面PBC的距离为h，

由PB=1求得BD=DC=，BC=2，PC=

由PB⊥PD，PB⊥CD，∴PB⊥平面PCD，

∵PC⊂平面PCD，∴PB⊥PC

∵VC-PBD=VD-PBC

∴

=，则可得：

，即D到平面PBC的距离为．

题型：单选题

单选题

若二面角α-L-β的大小为，此二面角的张口内有一点P到α、β的距离分别为1和2，则P点到棱l的距离是（　　）

正确答案

解析

解：设过P，C，D的平面与l交于Q点．　　

由于PC⊥平面α，l⊂平面M，则PC⊥l，

同理，有PD⊥l，∵PC∩PD=P，

∴l⊥面PCQD于Q．

又 DQ，CQ，PQ⊂平面PCQD

∴DQ⊥l，CQ⊥l．

∴∠DQC是二面角α-l-β的平面角．

∴∠DQC=60°

且PQ⊥l，所以PQ是P到l的距离．

在平面图形PCQD中，有∠PDQ=∠PCQ=90°

∴P、C、Q、D四点共圆，也为△PDC的外接圆，且PQ是此圆的直径．

在△PCD中，∵PC=1，PD=2，∠CPD=180°-60°=120°，

由余弦定理得 CD2=1+4-2×1×2×（-）=7，CD=

在△PDC 中，根据正弦定理=2R=PQ，代入数据得出PQ=．

∴点P到直线l的距离为

故选：A．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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