- 二面角的平面角及求法
- 共2160题
如图,在三棱锥P-ABC中,底面△ABC是正三角形,∠APB=90°,∠PAB=60°,平面PAB⊥平面ABC.
(Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小.
正确答案
解:(Ⅰ)设AB中点为D,AD的中点为O,连接PO,CO,CD.
由已知△PAD为等边三角形,所以PO⊥AD,
又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AD,
所以∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角.
不妨设AB=4,则PD=2,CD=,OD=1,PO=
.
在.
所以,在直角△POC中,.
所以直线PC与平面ABC所成角的大小为.
(Ⅱ)过D作DE⊥AP于E,连接CE.
由已知得CD⊥平面PAB,根据三垂线定理知CE⊥PA,所以∠CED为二面角B-AP-C的平面角.
由(Ⅰ)知,DE=.
在直角△CDE中,.
所以二面角B-AP-C的大小为arctan2.
解析
解:(Ⅰ)设AB中点为D,AD的中点为O,连接PO,CO,CD.
由已知△PAD为等边三角形,所以PO⊥AD,
又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AD,
所以∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角.
不妨设AB=4,则PD=2,CD=,OD=1,PO=
.
在.
所以,在直角△POC中,.
所以直线PC与平面ABC所成角的大小为.
(Ⅱ)过D作DE⊥AP于E,连接CE.
由已知得CD⊥平面PAB,根据三垂线定理知CE⊥PA,所以∠CED为二面角B-AP-C的平面角.
由(Ⅰ)知,DE=.
在直角△CDE中,.
所以二面角B-AP-C的大小为arctan2.
已知如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=BC=2AD=2,E、F分别是线段AB、CD上的动点且EF∥BC,G是BC的中点.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD丄平面EBCF (如图2).
(1)当AE为何值时,有BD丄EG?
(2)设AE=x,以F、B、C、D为顶点的三梭锥的体积记为f(x),求f(x)的最大值;并求此时二面角D-BF-C的余弦值.
正确答案
解:(1)以点E为坐标原点,射线EB为X轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系E-XYZ,设AE=x,则E(0,0,0),B(2-x,0,0),D(0,1,x),G(2-x,1,0),
∴,
,
∵BD丄EG,
∴=0,即(x-2)(2-x)+1=0,解得x=1或x=3,
又在图1中AB=2,
∴x=1,故AE=1时有BD丄EG;
(2)∵AD∥面BEC,
∴f(x)=VD-BCF=VA-BCF=×S△BCF×AE=
≤
×
=
.
设平面DBF的法向量为,
∵AE=1,B(1,0,0),D(0,1,1),F(0,,0),
∴,
=(-1,1,1),则
,即
,令y=2,得
,
∵AE⊥面BCF,
∴面BCF的一个法向量为,则cos<
>=
=
,
由于所求的二面角D-BF-C的平面角是钝角,所以此二面角的余弦值为-
解析
解:(1)以点E为坐标原点,射线EB为X轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系E-XYZ,设AE=x,则E(0,0,0),B(2-x,0,0),D(0,1,x),G(2-x,1,0),
∴,
,
∵BD丄EG,
∴=0,即(x-2)(2-x)+1=0,解得x=1或x=3,
又在图1中AB=2,
∴x=1,故AE=1时有BD丄EG;
(2)∵AD∥面BEC,
∴f(x)=VD-BCF=VA-BCF=×S△BCF×AE=
≤
×
=
.
设平面DBF的法向量为,
∵AE=1,B(1,0,0),D(0,1,1),F(0,,0),
∴,
=(-1,1,1),则
,即
,令y=2,得
,
∵AE⊥面BCF,
∴面BCF的一个法向量为,则cos<
>=
=
,
由于所求的二面角D-BF-C的平面角是钝角,所以此二面角的余弦值为-
在长方体ABCD-A1B1C1D1中(如图),AD=AA1=1,AB=2,点E是AB上的动点
(1)若直线D1E与EC垂直,请你确定点E的位置,并求出此时异面直线AD1与EC所成的角
(2)求在(1)的条件下求二面角D1-EC-D所对应的平面角的余弦值.
正确答案
解:如图,
(1)由D1E与EC垂直⇒DE与CE垂直
设AE=x,在直角三角形DEC中求得x=1
所以点E是AB的中点
取CD的中点Q,则AQ平行与EC,所以∠D1AQ是所求的角
求解△D1AQ得∠D1AQ=,所以异面直线AD1与EC所成的角为
.
(2)由D1E⊥EC,∴DE与CE垂直,
所以∠D1ED是所求D1-EC-D的平面角,
在直角三角形D1ED 中,cos∠D1ED=.
解析
解:如图,
(1)由D1E与EC垂直⇒DE与CE垂直
设AE=x,在直角三角形DEC中求得x=1
所以点E是AB的中点
取CD的中点Q,则AQ平行与EC,所以∠D1AQ是所求的角
求解△D1AQ得∠D1AQ=,所以异面直线AD1与EC所成的角为
.
(2)由D1E⊥EC,∴DE与CE垂直,
所以∠D1ED是所求D1-EC-D的平面角,
在直角三角形D1ED 中,cos∠D1ED=.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=
,BC=4,A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O.
(Ⅰ)证明:在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;
(Ⅱ)求二面角A1-B1C-C1的余弦值.
正确答案
解:(Ⅰ)证明:连接AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E,因为AA1∥BB1,所以,OE⊥BB1
因为A1O⊥平面ABC,所以BC⊥平面AA1O,所以BC⊥OE,所以OE⊥平面BB1CC
又AO==1,AA1=
得AE=
=
.
(Ⅱ)解:如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2)
由=
,得点E的坐标是(
,0,
),
由(Ⅰ)知平面B1CC1的一个法向量为=(
,0,
)
设平面A1B1C的法向量是=(x,y,z),
由得
可取
=(2,1,-1),
所以cos<,
>=
=
.
解析
解:(Ⅰ)证明:连接AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E,因为AA1∥BB1,所以,OE⊥BB1
因为A1O⊥平面ABC,所以BC⊥平面AA1O,所以BC⊥OE,所以OE⊥平面BB1CC
又AO==1,AA1=
得AE=
=
.
(Ⅱ)解:如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2)
由=
,得点E的坐标是(
,0,
),
由(Ⅰ)知平面B1CC1的一个法向量为=(
,0,
)
设平面A1B1C的法向量是=(x,y,z),
由得
可取
=(2,1,-1),
所以cos<,
>=
=
.
如图,在三棱柱ABC-A1BlC1中,CC1丄底面ABC,底面是边长为2的正三角形,M,N分别是棱CC1、AB的中点.
(Ⅰ)求证:CN∥平面 AMB1;
(Ⅱ)若二面角A-MB1-C为45°,求CC1的长.
正确答案
证明:(Ⅰ)设AB1的中点为P,连结NP、MP.
∵CMAA1,NP
AA1,∴CM
NP,
∴CNPM是平行四边形,∴CN∥MP.
∵CN⊄平面AMB1,MP⊂平面AMB1,
∴CN∥平面AMB1.
(Ⅱ)以C为原点,建立空间直角坐标系如图,
则C(0,0,0),A(1,,0),B(-1,
,0),设M(0,0,a),(a>0),
则B1(-1,),
,
,
=(0,0,a),
设平面AMB1的法向量为,
则,
则y=0,令x=a,则z=1,即,
设平面CMB1的法向量为,
则由且
即
则w=0,令v=1,则u=,即m=(
,1,0).
所以cos(m,n)=,
依题意,(m,n)=45°,则=
,解得a=
,
故CC1的长为2.
解析
证明:(Ⅰ)设AB1的中点为P,连结NP、MP.
∵CMAA1,NP
AA1,∴CM
NP,
∴CNPM是平行四边形,∴CN∥MP.
∵CN⊄平面AMB1,MP⊂平面AMB1,
∴CN∥平面AMB1.
(Ⅱ)以C为原点,建立空间直角坐标系如图,
则C(0,0,0),A(1,,0),B(-1,
,0),设M(0,0,a),(a>0),
则B1(-1,),
,
,
=(0,0,a),
设平面AMB1的法向量为,
则,
则y=0,令x=a,则z=1,即,
设平面CMB1的法向量为,
则由且
即
则w=0,令v=1,则u=,即m=(
,1,0).
所以cos(m,n)=,
依题意,(m,n)=45°,则=
,解得a=
,
故CC1的长为2.
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