热门试卷

（I）证明：如图所示，

设平面AA1B∩平面BCC1B1=l=BD，延长C1B1∩l=D，连接A1D．

∵AA1∥CC1，CC1⊂平面BCC1B1，AA1⊊平面BCC1B1，

∴AA1∥平面BCC1B1，

∴AA1∥BD，

∴BD∥CC1，即l∥CC1；

（II）解：如图所示，过点B1，作B1E∥CC1，交BC于点E．

∵B1C1∥BC，

∴四边形B1ECC1是平行四边形．

∴B1E=4，CE=1，∴BE=3．

∴B1E⊥BC．

∴四边形B1ECC1是矩形．

建立空间直角坐标系．

A（0，0，3），B（4，0，0），A1（0，4，3），B1（1，4，0）．

=（4，0，-3），=（4，-4，-3），=（-3，4，0）．

设平面ABA1的法向量为=（x，y，z），

则，∴，

令x=3，解得z=4，y=0，则=（3，0，4）．

同理可得：平面A1BB1的法向量为=（12，9，4）．

∴===．

∴钝二面角A-A1B-B1的余弦值为-．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，

∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB=A，AB⊥BC，

∴PA⊥平面ABCD，又BC⊂面ABCD，∴PA⊥BC，

∵AB∩PA=A，∴BC⊥面PAB，

∴BC⊥AF，

∵△PAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，F是PB中点，

∴AF⊥PB，

又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，

∵EF⊂平面PBC，∴AF⊥EF．

（2）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，P为z轴，

建立空间直角坐标系，

设AB=1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），P（0，0，1），

=（0，0，1），=（1，1，0），

设平面APC的法向量=（x，y，z），

则，取x=1，得=（1，-1，0），

=（0，1，-1），=（1，1，-1），

设平面PBC的法向量=（a，b，c），

则，取b=1，得=（0，1，1），

|cos＜＞|=||=，

∴＜＞=60°，又sin60°=，

∴二面角A-PC-B的平面角的正弦值为．