热门试卷

证明：（1）如图，取AD的中点O，连接OP，OE

∵PA=PD，∴OP⊥AD（2分）

又E是BC的中点，∴OE∥AB，∴OE⊥AD．（4分）

又OP∩OE=0，∴AD⊥平面OPE．

而PE⊂平面OPE，∴AD⊥PE（6分）

（2）

解法一：取OE的中点F，连接FG，OG，

则由（1）易知AD⊥OG，又OE⊥AD，

∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角（9分）

∵，，∴∠GOE=45°

即二面角E-AD-G的大小为45°．（12分）

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），E（0，1，0）E（8分）

设平面ADG的法向量为D，由C得AB（10分）

又平面EAD的一个法向量为

又因为=（11分）

∴二面角E-AD-G的大小为45°．（12分）

解：（I）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A1C

∴EN⊥侧面A1C

NF为EF在侧面A1C内的射影

则由，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C

由三垂线定理可知EF⊥A1C

（II）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME

由（I）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF

∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ

设∠FAC=α则0°＜α≤45°，

在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sinα

故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤

故当α=45°时，tanθ达到最小值，

tanθ=，此时F与C1重合．

（Ⅰ）证明：连接A1C，交C1A于E，则E为A1C的中点，又点D是BC的中点，

所以DE∥A1B，…（3分）

又DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，故A1B∥平面ADC1．          …（5分）

（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系A-xyz，

则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），…（6分）

=（0，2，0）是平面ABA1的一个法向量，…（7分）

设平面ADC1的法向量=（x，y，z）．

∵=（1，1，0），=（0，2，4），

∴．

取z=1，得y=-2，x=2

∴平面ADC1的法向量=（2，-2，1），…（9分）

平面ADC1与ABA1所成的二面角为θ，

∴|cosθ|=||=．…（11分）

从而sinθ=，即平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为  …（13分）