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题型:简答题
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简答题

如图,已知E,F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点,EF与AC交于点O,PA、NC都垂直于平面ABCD,且PA=AB=4,NC=2,M是线段PA上一动点.

(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面NEF;

(Ⅱ)若PC∥平面MEF,试求PM:MA的值;

(Ⅲ)当M是PA中点时,求二面角M-EF-N的余弦值.

正确答案

解:(Ⅰ)连接BD,

∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

∴PA⊥BD,

又∵BD⊥AC,AC∩PA=A,

∴BD⊥平面PAC,

又∵E,F分别是BC、CD的中点,

∴EF∥BD,

∴EF⊥平面PAC,又EF⊂平面NEF,

∴平面PAC⊥平面NEF;(4分)

(Ⅱ)连接OM,

∵PC∥平面MEF,平面PAC∩平面MEF=OM,

∴PC∥OM,

,故PM:MA=1:3(6分)

(Ⅲ)∵EF⊥平面PAC,OM⊂平面PAC,∴EF⊥OM,

在等腰三角形NEF中,点O为EF的中点,∴NO⊥EF,

∴∠MON为所求二面角M-EF-N的平面角,(8分)

∵点M是PA的中点,∴AM=NC=2,

所以在矩形MNCA中,可求得,(10分)

在△MON中,由余弦定理可求得

∴二面角M-EF-N的余弦值为.(12分)

解析

解:(Ⅰ)连接BD,

∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

∴PA⊥BD,

又∵BD⊥AC,AC∩PA=A,

∴BD⊥平面PAC,

又∵E,F分别是BC、CD的中点,

∴EF∥BD,

∴EF⊥平面PAC,又EF⊂平面NEF,

∴平面PAC⊥平面NEF;(4分)

(Ⅱ)连接OM,

∵PC∥平面MEF,平面PAC∩平面MEF=OM,

∴PC∥OM,

,故PM:MA=1:3(6分)

(Ⅲ)∵EF⊥平面PAC,OM⊂平面PAC,∴EF⊥OM,

在等腰三角形NEF中,点O为EF的中点,∴NO⊥EF,

∴∠MON为所求二面角M-EF-N的平面角,(8分)

∵点M是PA的中点,∴AM=NC=2,

所以在矩形MNCA中,可求得,(10分)

在△MON中,由余弦定理可求得

∴二面角M-EF-N的余弦值为.(12分)

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题型:简答题
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简答题

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,.

(Ⅰ)求证:AC⊥平面PBD;

(Ⅱ)若∠BAD=60°,AD=2,PD=3,求二面角P-BC-A的大小.

正确答案

(Ⅰ)证明:∵PD⊥平面ABCD,

∴PD⊥AC,

∴底面ABCD是菱形,

∴BD⊥AC,

∵PD∩BD=D,

∴AC⊥平面PBD;

(Ⅱ)解:取BC的中点E,连接DE,PE,则

∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,

∴DE⊥BC,

∴PE⊥BC,

∴∠PED是二面角P-BC-A的平面角.

∵∠BAD=60°,AD=2,

∴DE=

∵PD=3,

∴tan∠PED==

∴∠PED=60°

解析

(Ⅰ)证明:∵PD⊥平面ABCD,

∴PD⊥AC,

∴底面ABCD是菱形,

∴BD⊥AC,

∵PD∩BD=D,

∴AC⊥平面PBD;

(Ⅱ)解:取BC的中点E,连接DE,PE,则

∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,

∴DE⊥BC,

∴PE⊥BC,

∴∠PED是二面角P-BC-A的平面角.

∵∠BAD=60°,AD=2,

∴DE=

∵PD=3,

∴tan∠PED==

∴∠PED=60°

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题型:填空题
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填空题

如图长方体中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C1-BD-C的大小为______

正确答案

30°

解析

解:取BD的中点E,连接C1E,CE

∵AB=AD=2

∴AC⊥BD,根据三垂线定理可知C1E⊥BD

∴∠C1EC为二面角C1-BD-C的平面角

∴CE=,而CC1=

∴tan∠C1EC==

∴二面角C1-BD-C的大小为30°

故答案为:30°

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题型:简答题
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简答题

已知△ABC为直角三角形,AB⊥BC,四边形ABDE为等腰梯形,DE∥AB,平面ABDE⊥平面ABC,AB=BC=2DE=2.

(1)在AC上是否存在一点F,使得EF∥平面BCD?

(2)若等腰梯形ABDE的高h=1,求二面角B-CD-E的余弦值.

正确答案

解:(1)取AB的中点G,AC的中点F,连接EG,EF,FG,

则EG∥BD,DG∥BC,

则平面EFG∥平面BCD,

∵EF⊂平面EFG,

∴EF∥平面BCD,

即F是AC的中点时,满足EF∥平面BCD.

(2)以B为坐标原点,以BA,BC分别为x,y轴,以垂直平面ABC的直线BH为z轴,建立空间坐标系如图:

若等腰梯形ABDE的高h=1,即BH=1,

∵AB=BC=2DE=2.

∴B(0,0,0),C(0,2,0),H(0,0,1),

D(,0,1),E(,0,1),

设平面BCD的法向量为=(x,y,z),

=(,-2,1),=(0,1,0),

,cd

令z=1,则y=0,x=-2,即=(-2,0,1),

设平面CDE的法向量为=(x,y,z),

=(1,0,0),

令y=1,则x=0,z=2,

=(0,1,2),

则cos<>===

即二面角B-CD-E的余弦值为

解析

解:(1)取AB的中点G,AC的中点F,连接EG,EF,FG,

则EG∥BD,DG∥BC,

则平面EFG∥平面BCD,

∵EF⊂平面EFG,

∴EF∥平面BCD,

即F是AC的中点时,满足EF∥平面BCD.

(2)以B为坐标原点,以BA,BC分别为x,y轴,以垂直平面ABC的直线BH为z轴,建立空间坐标系如图:

若等腰梯形ABDE的高h=1,即BH=1,

∵AB=BC=2DE=2.

∴B(0,0,0),C(0,2,0),H(0,0,1),

D(,0,1),E(,0,1),

设平面BCD的法向量为=(x,y,z),

=(,-2,1),=(0,1,0),

,cd

令z=1,则y=0,x=-2,即=(-2,0,1),

设平面CDE的法向量为=(x,y,z),

=(1,0,0),

令y=1,则x=0,z=2,

=(0,1,2),

则cos<>===

即二面角B-CD-E的余弦值为

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题型:简答题
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简答题

如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠ABC=45°.

(1)求点A到平面A1BC的距离;

(2)求二面角A-A1C-B的大小.

正确答案

解:(1)∵AB=AC=2,∠ABC=45°,∴∠BAC=90°.

=

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∴A1A⊥AB,A1A⊥AC.

.∴=

设点A到平面距离为h,由=,∴,解得

∴点A到平面距离为

(2)设A1C的中点为M,连接BM,AM.

∵BA1=BC,AA1=AC,∴BM⊥A1C,AM⊥A1C.

∴∠AMB是二面角A-A1C-B的平面角.

,∴

∴二面角A-A1C-B的大小为

解析

解:(1)∵AB=AC=2,∠ABC=45°,∴∠BAC=90°.

=

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∴A1A⊥AB,A1A⊥AC.

.∴=

设点A到平面距离为h,由=,∴,解得

∴点A到平面距离为

(2)设A1C的中点为M,连接BM,AM.

∵BA1=BC,AA1=AC,∴BM⊥A1C,AM⊥A1C.

∴∠AMB是二面角A-A1C-B的平面角.

,∴

∴二面角A-A1C-B的大小为

百度题库 > 高考 > 数学 > 二面角的平面角及求法

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