- 二面角的平面角及求法
- 共2160题
如图,已知E,F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点,EF与AC交于点O,PA、NC都垂直于平面ABCD,且PA=AB=4,NC=2,M是线段PA上一动点.
(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面NEF;
(Ⅱ)若PC∥平面MEF,试求PM:MA的值;
(Ⅲ)当M是PA中点时,求二面角M-EF-N的余弦值.
正确答案
解:(Ⅰ)连接BD,
∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴PA⊥BD,
又∵BD⊥AC,AC∩PA=A,
∴BD⊥平面PAC,
又∵E,F分别是BC、CD的中点,
∴EF∥BD,
∴EF⊥平面PAC,又EF⊂平面NEF,
∴平面PAC⊥平面NEF;(4分)
(Ⅱ)连接OM,
∵PC∥平面MEF,平面PAC∩平面MEF=OM,
∴PC∥OM,
∴,故PM:MA=1:3(6分)
(Ⅲ)∵EF⊥平面PAC,OM⊂平面PAC,∴EF⊥OM,
在等腰三角形NEF中,点O为EF的中点,∴NO⊥EF,
∴∠MON为所求二面角M-EF-N的平面角,(8分)
∵点M是PA的中点,∴AM=NC=2,
所以在矩形MNCA中,可求得,
,
,(10分)
在△MON中,由余弦定理可求得,
∴二面角M-EF-N的余弦值为.(12分)
解析
解:(Ⅰ)连接BD,
∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴PA⊥BD,
又∵BD⊥AC,AC∩PA=A,
∴BD⊥平面PAC,
又∵E,F分别是BC、CD的中点,
∴EF∥BD,
∴EF⊥平面PAC,又EF⊂平面NEF,
∴平面PAC⊥平面NEF;(4分)
(Ⅱ)连接OM,
∵PC∥平面MEF,平面PAC∩平面MEF=OM,
∴PC∥OM,
∴,故PM:MA=1:3(6分)
(Ⅲ)∵EF⊥平面PAC,OM⊂平面PAC,∴EF⊥OM,
在等腰三角形NEF中,点O为EF的中点,∴NO⊥EF,
∴∠MON为所求二面角M-EF-N的平面角,(8分)
∵点M是PA的中点,∴AM=NC=2,
所以在矩形MNCA中,可求得,
,
,(10分)
在△MON中,由余弦定理可求得,
∴二面角M-EF-N的余弦值为.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若∠BAD=60°,AD=2,PD=3,求二面角P-BC-A的大小.
正确答案
(Ⅰ)证明:∵PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥AC,
∴底面ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,
∵PD∩BD=D,
∴AC⊥平面PBD;
(Ⅱ)解:取BC的中点E,连接DE,PE,则
∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴DE⊥BC,
∴PE⊥BC,
∴∠PED是二面角P-BC-A的平面角.
∵∠BAD=60°,AD=2,
∴DE=,
∵PD=3,
∴tan∠PED==
,
∴∠PED=60°
解析
(Ⅰ)证明:∵PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥AC,
∴底面ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,
∵PD∩BD=D,
∴AC⊥平面PBD;
(Ⅱ)解:取BC的中点E,连接DE,PE,则
∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴DE⊥BC,
∴PE⊥BC,
∴∠PED是二面角P-BC-A的平面角.
∵∠BAD=60°,AD=2,
∴DE=,
∵PD=3,
∴tan∠PED==
,
∴∠PED=60°
如图长方体中,AB=AD=2,CC1=
,则二面角C1-BD-C的大小为______.
正确答案
30°
解析
解:取BD的中点E,连接C1E,CE
∵AB=AD=2,
∴AC⊥BD,根据三垂线定理可知C1E⊥BD
∴∠C1EC为二面角C1-BD-C的平面角
∴CE=,而CC1=
,
∴tan∠C1EC==
∴二面角C1-BD-C的大小为30°
故答案为:30°
已知△ABC为直角三角形,AB⊥BC,四边形ABDE为等腰梯形,DE∥AB,平面ABDE⊥平面ABC,AB=BC=2DE=2.
(1)在AC上是否存在一点F,使得EF∥平面BCD?
(2)若等腰梯形ABDE的高h=1,求二面角B-CD-E的余弦值.
正确答案
解:(1)取AB的中点G,AC的中点F,连接EG,EF,FG,
则EG∥BD,DG∥BC,
则平面EFG∥平面BCD,
∵EF⊂平面EFG,
∴EF∥平面BCD,
即F是AC的中点时,满足EF∥平面BCD.
(2)以B为坐标原点,以BA,BC分别为x,y轴,以垂直平面ABC的直线BH为z轴,建立空间坐标系如图:
若等腰梯形ABDE的高h=1,即BH=1,
∵AB=BC=2DE=2.
∴B(0,0,0),C(0,2,0),H(0,0,1),
D(,0,1),E(
,0,1),
设平面BCD的法向量为=(x,y,z),
则=(
,-2,1),
=(0,1,0),
由得
,cd
令z=1,则y=0,x=-2,即=(-2,0,1),
设平面CDE的法向量为=(x,y,z),
=(1,0,0),
由得
,
令y=1,则x=0,z=2,
即=(0,1,2),
则cos<,
>=
=
=
,
即二面角B-CD-E的余弦值为.
解析
解:(1)取AB的中点G,AC的中点F,连接EG,EF,FG,
则EG∥BD,DG∥BC,
则平面EFG∥平面BCD,
∵EF⊂平面EFG,
∴EF∥平面BCD,
即F是AC的中点时,满足EF∥平面BCD.
(2)以B为坐标原点,以BA,BC分别为x,y轴,以垂直平面ABC的直线BH为z轴,建立空间坐标系如图:
若等腰梯形ABDE的高h=1,即BH=1,
∵AB=BC=2DE=2.
∴B(0,0,0),C(0,2,0),H(0,0,1),
D(,0,1),E(
,0,1),
设平面BCD的法向量为=(x,y,z),
则=(
,-2,1),
=(0,1,0),
由得
,cd
令z=1,则y=0,x=-2,即=(-2,0,1),
设平面CDE的法向量为=(x,y,z),
=(1,0,0),
由得
,
令y=1,则x=0,z=2,
即=(0,1,2),
则cos<,
>=
=
=
,
即二面角B-CD-E的余弦值为.
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠ABC=45°.
(1)求点A到平面A1BC的距离;
(2)求二面角A-A1C-B的大小.
正确答案
解:(1)∵AB=AC=2,∠ABC=45°,∴∠BAC=90°.
∴=
.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∴A1A⊥AB,A1A⊥AC.
∴.∴
=
.
设点A到平面距离为h,由=
,∴
,解得
.
∴点A到平面距离为.
(2)设A1C的中点为M,连接BM,AM.
∵BA1=BC,AA1=AC,∴BM⊥A1C,AM⊥A1C.
∴∠AMB是二面角A-A1C-B的平面角.
∵,∴
.
∴二面角A-A1C-B的大小为.
解析
解:(1)∵AB=AC=2,∠ABC=45°,∴∠BAC=90°.
∴=
.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∴A1A⊥AB,A1A⊥AC.
∴.∴
=
.
设点A到平面距离为h,由=
,∴
,解得
.
∴点A到平面距离为.
(2)设A1C的中点为M,连接BM,AM.
∵BA1=BC,AA1=AC,∴BM⊥A1C,AM⊥A1C.
∴∠AMB是二面角A-A1C-B的平面角.
∵,∴
.
∴二面角A-A1C-B的大小为.
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