热门试卷

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2），E（0，1，2），P（0，0，4），F（x，y，0）．

∴，，．

∵，∴=y-1=0，解得y=1．

又∵=2，，取x＞0，把y=1代入解得x=，∴，∴．

==．

∴异面直线EF与BD所成角（锐角）的余弦值为；

（2）设平面DEF的法向量为，

则得，令x1=2，则，y1=0，

∴．

设平面ODF的法向量为=（x2，y2，z2），则，得，

令x2=1，则，z2=0．∴．

∴===．

∴sinθ==．

∴二面角O-DF-E的正弦值为．

（1）证明：设CC1=1，则B1C1=，BC=，∴B1B=，

∴B1M=，BM=，

由余弦定理可得CM=，

∴，

∴CM⊥B1B，

∵CC1⊥平面A1C1B1，

∴CC1⊥A1B1，

∵A1B1⊥C1B，

∴A1B1⊥平面BCC1B1，

∵CM⊂BCC1B1，

∴A1B1⊥CM，

∴CM⊥平面A1B1B；

（2）解：如图建立坐标系，设AA1=1，则A1（0，0，1），B（1，0，0），，C1（0，1，1），

，而，

∴，=，

设平面MA1A的法向量为，

则，

取x=1，y=-2，z=0，则，

由（1），CM⊥平面A1AB，而，可取为平面A1B1B的一个法向量，

∴．                      …（8分）

（3）解：多面体体积为

=．                        …（12分）

解：（I）由三视图可知四棱锥的高为，

∴

（Ⅱ）由题意可知，P点在平面ABCD的射影为BC的中点O，连接OD

在矩形ABCD中，DE∥BO，且DE=BO∴OD∥BE，且OD=BE

∵异面直面BE，PD所成角等于PD于DO的所成角

∵PO⊥平面ABCD且

又∵∴∠PDO=45°

∴异面直线BE，PD所成角的大小为45°

（Ⅲ）作CH⊥PD于H，连接EH，CE

又∵DE=DC，DH=DH

∴△EDH≌△CDH

∴

∴EH⊥PD∴∠EHC为二面角A-PD-C的平面角

在△CEH中，

∵

∴二面角A-PD-C的正弦值为

（1）证明：取PD的中点E，连接AE，NE，则四边形AMNE是平行四边形，

∴MN∥AE，

∵PA=BC=PD，E是PD的中点，

∴AE⊥PD，

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵CD⊥AD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AE，

∵PD∩CD=D，

∴AE⊥平面PCD，

∵MN∥AE，

∴MN⊥平面PCD；

（2）解：由PD=AB=DC，N是PC的中点得：ND⊥PC，

又由面MND⊥面PCD得：PC⊥面MND，

∴PC⊥MN∴MP=MC，

Rt△MPA≌Rt△MCB，

∴PA=BC=2，

即PA=AD=2，∠PDA=45°，

易知∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，

∴二面角P-CD-A的大小为45°．