热门试卷

证明：（Ⅰ）取PC中点M，连ME，MF

∵FM∥CD，FM=，AE∥CD，AE=

∴AE∥FM，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形

∴AF∥EM，

∵AF⊄平面PCE

∴AF∥平面PCE…（6分）

（Ⅱ）延长DA，CE交于N，连接PN，过A作AH⊥CN于H连PH．

∵PA⊥平面ABCD，∴PH⊥CN（三垂线定理）

∴∠PHA为二面角P-EC-A的平面角…（8分）

∵AD=2，CD=3

∴CN=5，即EN=A=AD

∴PA=2，∴AH=

∴

∴二面角P-EC-A的正切值为．…（12分）

证明：（1）取CE的中点P，连结FP，BP，

∵F为CD的中点，

∴FP∥DE且FP=，

又AB∥DE，且AB=，

∴AB∥FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP，

∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，

∴AF∥面BCE；

（2）过F作FH⊥CE，连AH，设AB=1

则CE⊥面AFH，得CE⊥AH，

∵AF⊥CD，

∴∠AHF就是二面角A-CE-D平面角，

则AF=，FH=，

Rt△AFH中，，

即二面角A-CE-D的正切值．

解：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，点E，F分别是棱BC，CD的中点，

∴建立空间直角坐标系如图：

则A（0，0，0），C1（2，2，2），D（0，2，0），B1（2，0，2），

B（2，0，0），C（2，2，0），F（1，2，0），E（2，1，0），

则=（2，-1，0），=（-1，2，-2），

则•=（2，-1，0）•（-1，2，-2）=-2-2=-4，

||=，||==3，

则cos＜，＞===-，

即直线DE与B1F所成角的余弦值为；

（2）设平面AEF的法向量为=（0，0，1），

设平面AEF的法向量为=（x，y，z），

则=（-1，1，0），=（0，-1，-2），

由得，

即，令z=1，则y=-2，x=-2，即=（-2，-2，1），

cos＜＞===，

即二面角C1-EF-A的余弦值为．

解：（1）连接PD，∵PA⊥α．∠ADC=90°

∴∠PDC=90°（三垂线定理）．

∠ADP为二面角α-l-β的平面角．

∴△PAD为等腰直角三角形．

∴二面角α-l-β为45°．

（2）设F为DP中点．连接AF，FN

则FN=DC=AM．FN∥DC∥AM．

∴FNMA为平行四边形

∴MN∥AF，

∵l⊥平面PAD，AF⊂平面PAD，

∴l⊥AF，

∴l⊥MN，

∴异面直线MN与l所成的角的大小为90°．