热门试卷

解：（1）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，DB⊥DC．

∴CD⊥平面ABD，

∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB，

又∵AB⊥AD，且AD∩AB=B，∴AB⊥平面ADC．

（2）取BD的中点O，连结AO，

∵AB=AD=1，AB⊥AD，∴△ABD为等腰直角三角形，

∴A0⊥BD，且AO=，BD=．

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，A0⊥BD，

∴A0⊥平面BCD，即AO是三棱锥A-BCD的高，

∵DB=DC，DB⊥DC．∴CD=BD=，

即△BCD的面积S=，

∴三棱锥A-BCD的体积V=×S×AO==．

（3）过O作OE⊥BC于点E，连结AE，

∵AO⊥平面BCD，可得OE是AE在平面BCD内的射影，

∴AE⊥BC，可得∠AEO为二面角A-BC-D的平面角．

Rt△BOE中，BO=，∠OBE=45°，可得OE=BOsin45°=，

∴Rt△AEO中，tan∠AEO==，即得二面角A-BC-D的正切值等于．

解：（I）∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴平面A1B1C1⊥平面A1ACC1；

∵AB=BC，进而A1B1=B1C1，

N为A1C1的中点，

∴B1N⊥平面A1ACC1，

∵AM⊂平面A1ACC1，

∴B1N⊥AM，即AM⊥B1N．

在侧面A1ACC1中，C1M=CM=2，

C1N=，AC=2，∴Rt△MC1N∽Rt△ACM，

∴∠C1MN+∠CMA=90°，

∴AM⊥MN．

∵B1N∩MN=N，∴AM⊥平面B1MN．  

（II）取BB1的中点为D，连接MD，则MD⊥平面A1AB1，作DE⊥AB1，垂足为E，连接ME，则ME⊥AB1，∠MED为二面角M-AB1-A1的补角．

，

∴，

∠MED=arctan，…（11分）

故二面角M-AB1-A1的大小为π-arctan．