热门试卷

解：（1）证明：如图所示，取AB中点G，连CG、FG．

∵EF=FB，AG=GB，

∴FGEA．

又DCEA，∴FGDC．

∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG．

∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，

∴DF∥平面ABC．

（2）证明：∵EA⊥平面ABC，

∴AE⊥CG．

又△ABC是正三角形，G是AB的中点，

∴CG⊥AB．

∴CG⊥平面AEB．

又∵DF∥CG，

∴DF⊥平面AEB．

∴平面AEB⊥平面BDE．

∵AE=AB，EF=FB，

∴AF⊥BE．

∴AF⊥平面BED，

∴AF⊥BD．

（3）解：延长ED交AC延长线于G′，连BG′．

由CD=AE，CD∥AE知，D为EG′的中点，

∴FD∥BG′．

又CG⊥平面ABE，FD∥CG．

∴BG′⊥平面ABE．

∴∠EBA为所求二面角的平面角．

在等腰直角三角形AEB中，可得∠ABE=45°．

∴平面BDE与平面ABC所成的较小二面角是45°．

（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，

∴AC⊥PD，

又∵底面ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，

∴AC⊥平面PBD，

又AC⊂平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD．

（2）解：记AC与BD相交于O，连结PO，

由（1）知，AC⊥平面PBD，

∴PC在平面PBD内的射影是PO，

∴∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，

∵PD=AD，

∴在Rt△PDC中，PC=CD，

而在正方形ABCD中，OC=AC=CD，

∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°．

即PC与平面PBD所成的角为30°．

（3）解：分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

设PD=AD=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）

假设在线段PB上存在一点E使得PC⊥平面ADE，

设 BE=λ EF，则E（，，）

又∵=（0，1，-1），=（-1，，）且 ，

∴，

即-=0，

解得：λ=1，此时E为PD的中点，

又∵PC⊥AD，

∴当点E为PB的中点时，PC⊥平面ADE

∵此时平面ADE的法向量为 =（0，1，-1），

由（I）知平面BDE的法向量为=（1，1，0）

则cos＜＞=，

∴＜＞=60°

故此时二面角的大小为60°

解：（1）将梯形ABCD沿EF折起，使得二面角D-EF-A为直二面角，

则DE⊥AE，

以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，

则AE=DE=1，DC=2，AB=4，EF=3，

即E（0，0，0），A（1，0，0），D（0，0，1），

F（0，3，0），C（0，2，1），B（1，4，0），

=（-1，-4，1），=（0，1，-1），

则||===3，||=，

•=-4-1=-5，

则cos＜，＞==，

即折起后BD与CF所成角的余弦值为；

（2）∵=（-1，-1，0），=（-1，-2，1），=（0，2，0），

∴设平面FBC的法向量为=（x，y，z），平面BCD的法向量为=（x，y，z），

则由，令y=1，则x=-1，z=1，即=（-1，1，1），

由，令x=1，则y=0，z=1，

即为=（1，0，1），

则cos＜，＞==0，

即＜，＞=，即二面角F-BC-D的大小为．

解：（1）由三视图可知，平面PCBM⊥平面ABC，

平面PCBM∩平面ABC=BC，且PC⊥BC，

∴PC⊥平面ABC，

又AB⊂平面ABC，

∴PC⊥AB．

（2）由三视图可知，PM∥CN 且PM=CN，

∴MN∥PC，MN=PC，由（1）知PC⊥平面ABC，

∴MN⊥平面ABC．

PC=MN=1，CB=2，AC=1，点A到直线BC的距离为AE=．

在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．

在Rt△AEC中，AC=1，∴CE=，

∴C（0，0，0），P（0，0，1），M（0，1，1），B（0，2，0），A，

∴=，=．

设平面MAC的法向量为=（x，y，1），

则，得，解得，

∴是平面MAC的一个法向量．

又平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），

∴==．

由图可知二面角M-AC-B为锐二面角，

∴二面角M-AC-B的余弦值为．