热门试卷

解：在正四面体A-BCD中，取BC的中点E，连结AE，DE，

则∠AED就是二面角A-BC-D的平面角，在等腰三角形AED中，可求得cos∠AED=，

∴二面角A-BC-D的余弦为＜，二面角A-BC-D∈（，），

设过点P垂直于平面ABC的直线为m，过点P垂直于平面BCD的直线为n，则m与n所成角∈（，），

∴过点P可作4条直线同时与直线m，n成，

即符合题意的平面有4个．

证明：（Ⅰ）由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．

又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，

又AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．

（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1．

由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A．建立如图所示的坐标系O-xyz．

其中O是BB1的中点，Ox∥AB，OB1为y轴，OC为z轴．

不妨设AB=2，则A（2，-1，0），B（0，-1，0），C（0，0，），A1（2，1，0）．

=（-2，0，0），=（-2，1，），．

设=（x1，y1，z1）为面ABC的法向量，则•=0，•=0，

即取z1=-1，得=（0，，-1）．

设=（x2，y2，z2）为面ACA1的法向量，则•=0，•=0，

即取x2=，得=（，0，2）．

所以cos〈n1，n2＞==-．

因此二面角B-AC-A1的余弦值为-．

解：（Ⅰ）取DC的中点E．

∵ABCD是边长为a的菱形，∠DAB=60°，∴BE⊥CD．

∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PD⊥BE．

∴BE⊥平面PDC．∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角．

∵BE=，PE=，∴tan∠BPE==．

（Ⅱ）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD．

∵PD⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，

∴AO⊥PD．∴AO⊥平面PDB．

作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB．

故∠AFO就是二面角A-PB-D的平面角．

∵AO=，OF=，∴=．

∴∠AFO=arctan．