二面角的平面角及求法
共2160题

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二面角的平面角及求法
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题型：简答题

简答题

如图1，在平面多边形ABEDC中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，AB=2，CD=2，沿BC将△ABC折起，组成四棱锥A′-BCDE，如图2，F、G分别是A′B，A′E的中点．

（1）求证：A′C∥平面BDG；

（2）当三棱锥A′-BCE的体积最大时，求平面BCE与平面CEF的夹角的余弦值．

正确答案

证明：（1）连结OG，

则O为CE的中点，

∵G是A′E的中点，

∴OG是△A′CE的中位线，

∴OG∥A′C，

∵A′C⊄平面BDG，GO⊂平面BDG，

∴A′C∥平面BDG．

（2）取BC的中点H，连结A′H，

在正三角形锥A′BC中，A′H⊥BC，

若三棱锥A′-BCE的体积最大，则满足A′H⊥平面BCE，

以H为坐标原点，分别以HB，HO，HA′为x，y，z轴建立空间坐标系如图，

∵AB=2，CD=2，

∴BH=1，HO=，A′H=，

则H（0，0，0），A′（0，0，），C（-1，0，0），B（1，0，0），F（，0，），O（0，，0）

则平面BCED的法向量为=（0，0，1），

设平面CEF的法向量为=（x，y，z），

则=（1，，0），=（-，，），

则，

令y=，则x=-3，z=3，即=（-3，，3），

则cos＜，＞====，

即平面BCE与平面CEF的夹角的余弦值为．

解析

证明：（1）连结OG，

则O为CE的中点，

∵G是A′E的中点，

∴OG是△A′CE的中位线，

∴OG∥A′C，

∵A′C⊄平面BDG，GO⊂平面BDG，

∴A′C∥平面BDG．

（2）取BC的中点H，连结A′H，

在正三角形锥A′BC中，A′H⊥BC，

若三棱锥A′-BCE的体积最大，则满足A′H⊥平面BCE，

以H为坐标原点，分别以HB，HO，HA′为x，y，z轴建立空间坐标系如图，

∵AB=2，CD=2，

∴BH=1，HO=，A′H=，

则H（0，0，0），A′（0，0，），C（-1，0，0），B（1，0，0），F（，0，），O（0，，0）

则平面BCED的法向量为=（0，0，1），

设平面CEF的法向量为=（x，y，z），

则=（1，，0），=（-，，），

则，

令y=，则x=-3，z=3，即=（-3，，3），

则cos＜，＞====，

即平面BCE与平面CEF的夹角的余弦值为．

题型：单选题

单选题

已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成角为30°，那么二面角B-AC-P的正切值为（　　）

正确答案

解析

解：在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB．

因为α⊥β，α∩β=PQ，所以CO⊥α，

又因为CA=CB，所以OA=OB．

而∠BAO=45°，所以∠ABO=45°，∠AOB=90°．从而BO⊥PQ．

又α⊥β，α∩β=PQ，BO⊂α，所以BO⊥β．

过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．

故∠BHO是二面角B-AC-P的平面角．

因为CO⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO=30°，

不妨设AC=2，则AO=，OH=AOsin30°=．

在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以BO=AO=，

于是在Rt△BOH中，tan∠BHO=2．

故选：A．

题型：单选题

单选题

设a、b是异面直线，a与b所成角为60°．二面角α-l-β的大小为θ．如果a⊥α，b⊥β，那么θ=（　　）

A30°

B60°

C120°

D60°或120°

正确答案

解析

解：如图所示：

由a⊥α，则a⊥l，设a∩α=A；

过a上一点P作b′∥b，∵b⊥β，∴b′⊥β，垂足为B，b′⊥l．

设平面PAB交直线l于点C，则l⊥AC，l⊥BC．

∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角，即∠ACB=θ．

则异面直线a与b所成的角与二面角α-l-β的大小θ相等或互补，

∵a与b所成角为60°，∴θ=60°或120°．

故选D．

题型：简答题

简答题

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥BC1；

（2）求多面体ADC-A1B1C1的体积；

（3）求二面角D-CB1-B的平面角的正切值．

正确答案

解：（1）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∵AC2+BC2=AB2

∴AC⊥BC，

又AC⊥C1C，C1C∩BC=C

∴AC⊥平面BCC1；

∴AC⊥BC1

（2）=-=20

（3）由题意可得：以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，

∵AC=3，BC=4，AA1=4，

∴C（0，0，0），，B1（0，4，4），

∴，

平面CBB1C1的法向量，

设平面DB1C的法向量，

则，的夹角的补角的大小就是二面角D-CB1-B的大小

则由解得

所以，

则

∴二面角D-B1C-B的正切值为

解析

解：（1）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∵AC2+BC2=AB2

∴AC⊥BC，

又AC⊥C1C，C1C∩BC=C

∴AC⊥平面BCC1；

∴AC⊥BC1

（2）=-=20

（3）由题意可得：以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，

∵AC=3，BC=4，AA1=4，

∴C（0，0，0），，B1（0，4，4），

∴，

平面CBB1C1的法向量，

设平面DB1C的法向量，

则，的夹角的补角的大小就是二面角D-CB1-B的大小

则由解得

所以，

则

∴二面角D-B1C-B的正切值为

题型：单选题

单选题

如图，三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，M是侧棱BB′的中点，则二面角M-AC-B的大小为（　　）

A30°

B45°

C60°

D75°

正确答案

解析

解：由已知中三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，

可得三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱

取AC的中点D，连接BD，MD，

则MD⊥AC，BD⊥AC

∴∠MDB即为二面角M-AC-B的平面角，

在Rt△MBD中，

∵M是侧棱BB′的中点

∴tan∠MDB==

故∠MDB=30°

即二面角M-AC-B的大小为30°

故选A

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