热门试卷

解：（1）∵C是圆心为O半径为1的半圆弧上

从点A数起的第一个三等分点，∴∠AOC=60°，

∴△OAC是等边三角形，∴CA=CD=1．

∵C是圆周上的点，AB是直径，

∴AC⊥AB，∴，

又CD⊥平面ABC，

∴AC，BC，CD两两垂直．以点C为坐标原点，、、分别为x、y、z轴的正向，建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），，C（0，0，0），D（0，0，1），，，

于是，，，．

设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，m=（p，q，r）为平面OCE的法向量，，，取x=1得n=（1，0，-1）．，，

取p=1得

，

因此，二面角O-EC-B的余弦值是．

（2）方法一：由（1）知，

设h=（x1，y1，z1）为平面ABD的法向量，则，即，取得．

设向量h和所成的角为ϑ，则，

设点C到平面ABD的距离为d，则．

方法二：由（1）知AC=1，

因为直线CD⊥平面ABC，所以，CD⊥AC，CD⊥BC，

于是，，．

因为AB=2=BD，点E是AD的中点，所以BE⊥AD．

因此，，

从而，，

．

因为，VC-ABD=VD-ABC，

设点C到平面ABD的距离为h，

则有，

即，

于是，．

（1）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以OE⊥BB1，

因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，

所以OE⊥平面BB1C1C，

又AO==1，AA1=，

得OE===，

则AE==

（2）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A1（0，0，2）

由，得点E得坐标是（），

设平面A1B1C的法向量是=（x，y，z），由得

令y=1，得x=2，z=-1，所以=（2，1，-1），

所以cos＜，＞==

即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值为．

（1）证明：∵平面ABFE⊥平面ABCD，CB⊥AB，平面ABFE∩平面ABCD=AB，

∴CB⊥平面ABFE，

∵AF⊂平面ABFE，

∴CB⊥AF，

在直角梯形ABFE中，AB∥EF，∠EAB=90°，AE=EF=2

∴AF=2

∴∠FAB=45°

△ABF中，AB=4，根据余弦定理得：BF=2，

∴BF2+AF2=AB2，

∴AF⊥FB．

∵CB∩FB=B，

∴AF⊥平面BCF；

（2）解：∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，平面ABFE∩平面ABCD=AB，

∴EA⊥平面ABCD．

分别以AD、AB、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．

则有D（2，0，0），C（2，4，0）E（0，0，2），B（0，4，0）．

∴=（0，4，0），=（-2，0，2）．

设=（x，y，z）为平面CDEF的法向量，则

令x=1，则z=1，则=（1，0，1）

由（1）知（0，2，2）=2（0，1，1）为平面BCF的法向量．

∴cos＜，＞=且B-FC-D为钝角，

∴二面角B-FC-D的大小为120°；

（3）解：∵（0，2，2）=2（0，1，1）为平面BCF的法向量，=（0，4，0），

∴点D到平面BCF的距离d==2．