热门试卷

解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；

△DEF∽△ABC，又AB=2DE，

∴BC=2EF=2BH，

∴四边形EFHB为平行四边形；

∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；

∴BE∥平面FGH；

同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；

又DE∥AB；

∴DE∥GH；

∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；

∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；

∴BD∥平面FGH；

（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；

∵CF⊥平面ABC；

∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；

∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：

H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（-1，0，0）；

连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；

∴BG⊥AC；

又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；

∴BG⊥CF，AC∩CF=C；

∴BG⊥平面ACFD；

∴向量为平面ACFD的法向量；

设平面FGH的法向量为，则：

，取z=1，则：；

设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；

∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．

解：（1）如图所示建立空间直角坐标系，

O（0，0，0），A（3，0，0），

设O1（0，0，t），（t＞0），C（0，1，t），B（0，3，0）．

=（-3，1，t），=（0，3，-t），

∵AC⊥BO1，

∴•=3-t2=0，解得t=．

∴线段OO1=．

（2）设平面OAC的法向量为=（x，y，z），

则，∴，取z=-1，则y=．

∴=．

同理可得：平面ABC的法向量=，

∴===．

∴二面角O-AC-B的余弦值为．

解：（I）证明：在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°

∴由余弦定理，可得BD=∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD

又在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，∴GD⊥BD

又AD∩GD=D，∴BD⊥平面ADG（5分）

（Ⅱ）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz

∵∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2

则有A（1，0，0），B（0，，0）．

∴=（-1，0，1）（7分）

设平面AEFG的法向量为n=（x，y，z）

由取n=（1，-，1）（9分）

而平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），（10分）

∴cos

故平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的大小为arccos（13分）

证明：（I）过点C做AB的垂线CE，E为垂足

∵AB⊥AD

∴AD∥CE

又∵AB∥CD

∴四边形ABCD为平行四边形

∴CE=AD=

在Rt△BCE中，CE=BEtan60°

∴BE=1

∴AE=2…3分

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），C（，2，0）

∵PF：FB=2：1

∴F（0，2，1）

∵=（-，0，1），=（0，3，0）

又∵•=0，

∴⊥，

∵AB⊥平面ADP，即平面ADP的法向量为，

故CF∥平面ADP…6分

（II）设平面AFC的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，

即•=0，•=0，

即

则=（1，，）

又AP⊥平面ACB，故=（0，0，3）为平面ACB的一个法向量，

∴二面角F-AC-B的余弦值为==…12分