热门试卷

（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设，

可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA．

在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，

所以AD⊥平面PAB．

（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．

在△PAB中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，

所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故

所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为：．

（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE

因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，

因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影．

由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．

由题设可得，，，

于是再RT△PHE中，．

所以二面角P-BD-A的正切函数值为．

（I）解：依题意，在正三棱柱中，AD=，AA1=3，从而AB=2，AA1⊥平面ABC，

所以正三棱柱的体积V=Sh=×AB×AD×AA1=×2××3=3．

（II）证明：连接A1C，设A1C∩AC1=E，

连接DE，因为AA1C1C是正三棱柱的侧面，

所以AA1C1C是矩形，E是A1C的中点，

所以DE是△A1BC的中位线，DE∥A1B，

因为DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1；

（Ⅲ）（文科做）解：AD垂直平面BCC1B1，AD⊂平面ABC、平面ABC∥平面A1B1C1、AD⊂平面AC1D

所以垂直于平面BCC1B1的平面有：平面ABC、平面A1B1C1、平面AC1D；

（Ⅲ）（理科做）解：△ADC1中，AD=，DC1=，AC1=，∴==

△A1DC1中，DC1=，A1C1=2，A1D=2，∴cos∠A1DC1==

∴sin∠A1DC1==

∴==

∴二面角A1-DC1-A的余弦值为==

∴二面角A1-DC1-A的正弦值为．

解：（1）连接AC，则AC⊥BD，又AC是A1C在平面ABCD内的射影

∴A1C⊥BD；又∵A1B1⊥面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB内的射影B1C⊥BE，

∴A1C⊥BE，

∵BD∩BE=B，∴A1C⊥面EBD．

（2）连接A1F，∵BE⊥B1C，BE⊥A1B1，∴BE⊥平面A1B1C，

∴∠B1FA1就是二面角B1-BE-A1的平面角．

∵，

∴，

所以二面角B1-BE-A1的大小 等于．

（I）证明：∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，AB⊥AD，

∴AB⊥平面PAD，

∴AB⊥PD，

又AE⊥PD，AB∩AE=A，

∴PD⊥平面ABE，

而PD⊂平面PCD，

∴平面ABE⊥平面PCD；

（II）解：过点E作EF⊥AD，F为垂足，过点F作FG⊥AC，G为垂足，连接EG．

∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，

∴EF⊥平面ABCD，

∴AC⊥EG．

∴∠EGF是二面角 E-AC-D的平面角．

∵PD与底面ABCD所成角为30°，∴∠EDF=30°，

又AE⊥PD，∴∠EAF=60°．

∵tan∠EAF=，tan∠EGF=，=sin45°=．

∴tan∠EGF===．

∴二面角E-AC-D的正切值为．