热门试卷

（Ⅰ）证明：设AD的中点为N，连结ON，

由O为正方形ABCD的中心，得ON⊥平面ADD1A1．

又AA1⊥平面ADD1A1，所以A1N为B1O在平面ADD1A1内的射影．

在正方形ADD1A1中，Rt△A1AN≌Rt△ADM，

∴∠AA1N=∠MAD，

∴∠AA1N+∠A1AM=，

∴A1N⊥AM，

∴B1O⊥AM；

（Ⅱ）解：设正方体的棱长为2，则AM=，B1A=2，B1M=3，∴cos∠MB1A==，

∴sin∠MB1A=45°，

∴==3，

△AMB中，AM=，BA=2，BM=3，∴S△AMB==，

∴二面角B1-AM-B的余弦值为，

∴二面角B1-AM-B的大小为arccos；

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，B1O⊥平面AMC．所以VB1-AMC=B1O×S△AMC

因棱长为a，所以B1O=a，S△AMC=×MO×AC=aa=a2

故VB1-AMC=×a×a2=a3．

（1）证明：如图所示，连接BE．

∵E为DC的中点，∴DE==1．

∵AB=1，∴DE=AB．

又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴．

由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，可得．

∴．

∴四边形BED1A1是平行四边形．

∴D1E∥A1B．

又D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，

∴D1E∥平面A1BD；

（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，1，0），A1（2，0，3），C1（0，2，3）．

∴=（2，0，3），=（2，1，0），=（0，2，3）．

设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），则，令z=2，则x=-3，y=6．

∴=（-3，6，2）．

设平面DBC1的法向量为，同理可得=（3，-6，4）．

∴===．

∴二面角A1-BD-C1的余弦值为．

解：（Ⅰ）∵等腰△PAD中，E为AD的中点，∴PE⊥AD．

∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，

∴PE⊥面ABCD，

又PA在面ABCD内的射影是CD，CD⊥AD，

由三垂线定理知：CD⊥PA；…（4分）

（Ⅱ）以E为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

由PE=4cos30°=2得P（0，0，2）

又∵C（-2，2，0），

∴M（-1，，），

∴=（-1，，），

又=（0，2，0）

设平面BEM的一个法向量为=（x，y，z），

则，

令z=1则x=，y=0，

∴=（，0，1），

又∵=（0，2，-2），

设直线PB与平面BEM所成角为θ，

则sinθ==； …（8分）

（3）假设在棱PC上存在点N，使二面角N-EB-C的余弦值为，

设=λ（0≤λ≤1），则=（-2λ，2λ，2（1-λ）），

又=（0，2，0），设平面NEB的一个法向量为=（a，b，c），

则，

令c=λ，a=（1-λ），

∴=（（1-λ），0，λ），

又=（0，0，1）为平面EBC的一个法向量，

则cos＜，＞==，解得λ=（负值舍），

故存在点N为棱PC的靠近P的三分点符合条件．…（12分）