热门试卷

解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．

又∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD．

又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．

∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC…（6分）

（Ⅱ）依题意，知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD与平面ABCD的交线为AD，

过点B作BM⊥AD，垂足为M，则BM⊥平面PAD．

在平面PAD内过M作MN⊥PD，垂足为N，连BN，

则PD⊥平面BMN，

∴∠BNM为二面角A-PD-B的平面角．…（9分）

∵AB=AD，∠BAD=60°，

∴，DM=1．…（10分）

又∵PA=AB，得，∴．…（11分）

∴Rt△BMN中，．

即二面角A-PD-B的余弦值为．…（12分）

（1）证明：过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．

∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C，

∴DE⊥面AA1C1C．

又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，∴BF⊥AC，

∴BF⊥面AA1C1C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，

又BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，

所以DB=EF=

所以D为棱BB1中点；

（2）解：延长A1D与直线AB相交于G，则CB⊥面AA1B1B

过B作BH⊥A1G于点H，由三垂线定理知，A1G⊥CH

由此可知∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角

设AA1=2b，AB=BC=a，则在直角△A1AG中，AB=BG；

在直角△DBG中，BH==；

在直角△CHB中，tan∠CHB==，

∵二面角A-A1D-C的平面角为60°，

∴=tan60°=

∴

∴=．

（Ⅰ）证明：在△ABD中，∵AB=2，AD=2，

BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cos45°=4，∴BD=2，

∴AD2=AB2+BD2，∴AB⊥BD，

∵平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD

∴AB⊥平面CBD，

∵DC⊂平面CBD，

∴AB⊥DC；       

（Ⅱ）解：在四面体ABCD中，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的射线为z轴，建立如图空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）

设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则

∵=（0，0，2），=（-2，2，0），

∴，∴取=（1，1，0）．

同理可得平面DAC的法向量为=（1，0，-1）．

∴cos＜，＞=

∴二面角B-AC-D平面角的大小为60°．