热门试卷

解：（I）当M在A1C1中点时，BC1∥平面MB1A

∵M为A1C1中点，延长AM、CC1，使AM与CC1延长线交于N，则NC1=C1C=a

连接NB1并延长与CB延长线交于G，则BG=CB，NB1=B1G     （2分）

在△CGN中，BC1为中位BC1∥GN

又GN⊂平面MAB1，∴BC1∥平面MAB1 （4分）

（II）∵△AGC中，BC=BA=BG∴∠GAC=90°

即AC⊥AG     又AG⊥AA1    AA1∩AC=A∴AG⊥平面A1ACC1，AG⊥AM（6分）

∴∠MAC为平面MB1A与平面ABC所成二面角的平面角∴

∴所求二面角为 arctan2．（8分）

（Ⅲ）设动点M到平面A1ABB1的距离为hM．

即B-AB1M体积最大值为．此时M点与C1重合．   （12分）

解：（Ⅰ）证明：由三视图可知：△ABE与△DCF皆为直角三角形，且AB⊥BE，DC⊥CF，

侧面矩形ABCD⊥底面直角梯形BEFC，且BC=，EF=2，∠CEF=90°．

由以上可得：AB∥CD，BE∥CF．

又AB⊄平面DCF，DC⊂平面DCF，∴AB∥平面DCF；

同理可证BE∥平面DCF．

又AB∩BE=B，∴平面ABE∥平面DCF．

∴AE∥平面DCF．

（Ⅱ）如图所示：

当AB=DC=6时，二面角A-EF-C的大小为60°．下面给出证明：

过点E作EM⊥CF，垂足为M，则EM∥BC，又BE∥CM，

∴四边形BCME为矩形，∴EM=．

在Rt△EFM中，，∴∠EFM=60°．

∴∠FEM=30°．

∵∠FEC=90°，∴∠CEM=60°，FE⊥CE．

在Rt△CEM中，CE==．

∵DC⊥BC，平面ABCD⊥平面BCFE，

∴DC⊥平面BCFE，∴DC⊥EF．

又∵DC∩CE=C，∴FE⊥平面DCE，∴FE⊥DE，

∴∠DCE是二面角A-EF-C的平面角，其大小为60°．

在Rt△DCE中，DC=CEtan60°=6=AB．

故当AB的长6时，二面角A-EF-C的大小为60°．

（1）证明：∵AB=1，BC=AD=2，∠ADC=60°，

∴AC2=1+4-2×1×2×cos60°=3

∴，

又∵AB=1，BC=2

∴，

∴AC⊥AB

又AF⊥AC，AB∩AF=A

∴AC⊥平面ABF，

又∵BF⊂平面ABF，

∴AC⊥BF．（4分）

（2）解：∵AB=1，AD=2，∠BAD=120°，

∴BD2=1+4-2×1×2×cos120°=7

∴

∵AF=1，AB=1，AF⊥AB

∴△ABF是直角三角形，且BF=

∵AF=1，AD=2，AF⊥AD

∴DF=，

∵，BF=，DF=，

∴∠BFD=90°．

设点A在平面BFD内的射影为O，过A作AG⊥DF于G，连接GO，则∠AGO为二面角A-FD-B的平面角．

即∠AGO=θ，

在△ADF中，由等面积法求得，

由等体积法，VA-BDF=VF-ABD

∴×sin120°

∴点A到平面BFD的距离是，

所以，即（8分）

（3）解：设AC与BD相交于O，则OF∥CM，

所以CM∥平面BFD．

当点P在M或C时，三棱锥P-BFD的体积最小，．（12分）

解：（I）证明：∵∠DAB=90°∴DA⊥AB

∵∠PAD=90°∴DA⊥PA，∵PA∩AB=A

∴DA⊥平面PAB，∵DA⊂平面ABCD

∴平面PAB⊥平面ABCD

（II）∵平面PAB⊥平面ABCD，过P作PH⊥AB交于H，则PH⊥平面ABCD

连DH，则∠PDH为PD为平面ABCD所成角

∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴∠PAB为二面角P-AD-B的平面角，∠PAB=60°

设PA=a，则AD=a，PD=a，PH=a，∴sin∠PDH=

则PD与平面ABCD所成角的正弦值为

（III）延长CD、BA交于E，过H作HF⊥CE于F，连PF，

∵PH⊥平面ABCD，∴PF⊥CE

∴∠PFH为二面角P-CD-B的平面角

∵∠ADC=135°，∴∠EDA=45°，则EA=AD=a，EH=，

∵∠E=45°

∴FH=EH•sin45°=，

tan∠PFH=