二面角的平面角及求法
共2160题

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题型：填空题

填空题

四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为______．

正确答案

60°

解析

解：取AB、CD的中点E、F，连接VE、EF、VF

∵VA=VB=

∴△VAB为等腰三角形

∴VE⊥AB

又∵ABCD是正方形，则BC⊥AB

∵EF∥BC

∴EF⊥AB

∵EF∩VE=E

∴∠VEF为二面角V-AB-C的平面角

∵△VAB≌△VDC∴VE=VF=2

EF=BC=2

∴△VEF为等边三角形

∴∠VEF=60°

即二面角V-AB-C为60°

故答案为：60°

题型：简答题

简答题

如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．

（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；

（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．

正确答案

解：（1）作CE∥AB交AD的延长线于E，

∵AB⊥AD，

∴CE⊥AD．

又∵SA⊥面ABCD，

∴CE⊥SA，SA∩AD=A，

∴CE⊥面SAD，SE是SC在面SAD内的射影，

∴∠CSE=θ是SC与平面ASD所成的角，

易得SE=，SC=，

∴在Rt△CES中，cosθ==

（2）由SA⊥面ABCD，知面ABCD⊥面SAB，

∴△SCD在面SAB的射影是△SAB，

而△SAB的面积S1=×SA×AB=，

设SC的中点是M，∵SD=CD=，

∴DM⊥SC，DM=

∴△SCD的面积S2=×SC×DM

设平面SAB和平面SCD所成角为φ，

则由面积射影定理得cosφ==

解析

解：（1）作CE∥AB交AD的延长线于E，

∵AB⊥AD，

∴CE⊥AD．

又∵SA⊥面ABCD，

∴CE⊥SA，SA∩AD=A，

∴CE⊥面SAD，SE是SC在面SAD内的射影，

∴∠CSE=θ是SC与平面ASD所成的角，

易得SE=，SC=，

∴在Rt△CES中，cosθ==

（2）由SA⊥面ABCD，知面ABCD⊥面SAB，

∴△SCD在面SAB的射影是△SAB，

而△SAB的面积S1=×SA×AB=，

设SC的中点是M，∵SD=CD=，

∴DM⊥SC，DM=

∴△SCD的面积S2=×SC×DM

设平面SAB和平面SCD所成角为φ，

则由面积射影定理得cosφ==

题型：简答题

简答题

（2016•衡阳一模）直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥

A1B1，D为棱A1B1上的点．

（1）证明：DF⊥AE；

（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．

正确答案

（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，

又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，

又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），

设D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z-1）=λ（1，0，0），

则 D（λ，0，1），所以=（，，-1），

∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；

（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．

理由如下：

设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，

∵=（，，），=（，-1），

∴，即，

令z=2（1-λ），则=（3，1+2λ，2（1-λ））．

由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），

∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，

∴|cos＜，＞|==，即=，

解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．

解析

（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，

又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，

又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），

设D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z-1）=λ（1，0，0），

则 D（λ，0，1），所以=（，，-1），

∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；

（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．

理由如下：

设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，

∵=（，，），=（，-1），

∴，即，

令z=2（1-λ），则=（3，1+2λ，2（1-λ））．

由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），

∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，

∴|cos＜，＞|==，即=，

解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．

题型：简答题

简答题

如（图1），直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，点E为线段AB的中点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如（图2）．

（Ⅰ）求证：DF⊥BC；

（Ⅱ）求平面ABC与平面AEFD所成的锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱AC上是否存在一点M，使直线FM与平面ABC所成角的正弦值为，若存在求出点M的一个坐标，否则说明理由．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵面EBCF⊥面AEFD，

又DF⊥EF，面EBCF∩面AEFD=EF，DF⊂面AEFD，∴DF⊥面EBCF，

又∵BC⊂面EBCF，∴DF⊥BC；

（Ⅱ）解：以FE所在直线为x轴，FD所在直线为y轴，FC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系F-xyz，

则A（2，1，0），B（2，0，1），C（0，0，3），D（0，1，0），

设平面ABC的法向量，有，

∴，令x0=1，得平面CBA的一个法向量，

面AEFD的一个法向量为，

∴．

∴平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦是．

（Ⅲ）设存在满足条件的点M，则，

有，

∴，

依题有，

整理得（2λ-1）（14λ-11）=0，故，或，都满足0≤λ≤1，

故存在满足条件的点M，其一个坐标为．

解析

（Ⅰ）证明：∵面EBCF⊥面AEFD，

又DF⊥EF，面EBCF∩面AEFD=EF，DF⊂面AEFD，∴DF⊥面EBCF，

又∵BC⊂面EBCF，∴DF⊥BC；

（Ⅱ）解：以FE所在直线为x轴，FD所在直线为y轴，FC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系F-xyz，

则A（2，1，0），B（2，0，1），C（0，0，3），D（0，1，0），

设平面ABC的法向量，有，

∴，令x0=1，得平面CBA的一个法向量，

面AEFD的一个法向量为，

∴．

∴平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦是．

（Ⅲ）设存在满足条件的点M，则，

有，

∴，

依题有，

整理得（2λ-1）（14λ-11）=0，故，或，都满足0≤λ≤1，

故存在满足条件的点M，其一个坐标为．

题型：简答题

简答题

如图所示，在直平行六面体ADD1A1-BCC1B1中，BC=1，CC1=2，AB=，∠BCC1=．

（Ⅰ）求证：BC1⊥平面ABC；

（Ⅱ）当E为CC1的中点时，求二面角A-B1E-A1的余弦值．

正确答案

（Ⅰ）证明：由题意知，AB⊥底面BB1C1C，故AB⊥BC1，

在△BC1C中，，

由余弦定理

=．

故有，

∴C1B⊥BC．…（4分）

而BC∩AB=B且AB，BC⊂平面ABC，

∴C1B⊥平面ABC…（6分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，C1B⊥BC，AB⊥平面BB1C1C，

以BC，BC1，BA为x，y，z轴，B为坐标原点建立坐标系，

则，…（8分）

由题意知，，

由勾股定理得BE⊥EB1，又A1B1⊥BE，

∴BE⊥平面A1B1E，故为平面A1B1E的一个法向量，．

设平面AB1E的法向量为n=（x，y，z）．

．

的一个法向量为=（1，，，）．

∴cosθ==．

∴二面角A-B1E-A1的余弦值为．…（12分）

解析

（Ⅰ）证明：由题意知，AB⊥底面BB1C1C，故AB⊥BC1，

在△BC1C中，，

由余弦定理

=．

故有，

∴C1B⊥BC．…（4分）

而BC∩AB=B且AB，BC⊂平面ABC，

∴C1B⊥平面ABC…（6分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，C1B⊥BC，AB⊥平面BB1C1C，

以BC，BC1，BA为x，y，z轴，B为坐标原点建立坐标系，

则，…（8分）

由题意知，，

由勾股定理得BE⊥EB1，又A1B1⊥BE，

∴BE⊥平面A1B1E，故为平面A1B1E的一个法向量，．

设平面AB1E的法向量为n=（x，y，z）．

．

的一个法向量为=（1，，，）．

∴cosθ==．

∴二面角A-B1E-A1的余弦值为．…（12分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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