热门试卷

(1)见解析   (2)

解：(1)证明：由已知得AB＝3，AD＝6，

∴BD＝9.

在矩形ABCD中，∵AE⊥BD，

∴Rt△AOD∽Rt△BAD，

∴＝，∴DO＝4，∴BO＝5.

在△POB中，PB＝，PO＝4，BO＝5，

∴PO2＋BO2＝PB2，

∴PO⊥OB.又PO⊥AE，AE∩OB＝O，

∴PO⊥平面ABCE.

(2)∵BO＝5，

∴AO＝＝2.

以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,4)，

A(2，0,0)，B(0,5,0)，

＝(2，0，－4)，＝(0,5，－4)．

设n1＝(x，y，z)为平面APB的法向量．

则即

取x＝2得n1＝(2，4,5)．

又n2＝(0,1,0)为平面AEP的一个法向量，

∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，

故二面角E­AP­B的余弦值为.

（1）详见解析;（2）．

试题分析：（1）由于这是一个正四棱锥，故易建立空间坐标系，易得各点的坐标，由，得，由，得，即可求得向量的坐标：．不难计算出它们的数量积，问题得证;（2）利用在上，可设，得出点的坐标，表示出，进而求出平面的法向量n＝(λ－1，0，λ)，由向量的夹角公式可得，解得，从而确定出，由两点间距离公式得.

试题解析：证明：连接交于点，以为轴正方向，以为轴正方向，为轴建立空间直角坐标系．

因为，则．

（1）由，得，由，得，

所以．

因为．所以.                   4分

（2）因为在上，可设，得．

所以．

设平面的法向量，

由得

其中一组解为，所以可取n＝(λ－1，0，λ).        8分

因为平面的法向量为，

所以，解得， 

从而，

所以.                      10分

(1)    (2)    (3)存在，

解：(1)在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.

又在直角梯形ABCD中，连接OC，易得OC⊥AD，所以以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，

∴＝(1，－1，－1)，易证OA⊥平面POC，

∴＝(0，－1,0)是平面POC的法向量，

cos〈，〉＝＝.

∴直线PB与平面POC所成角的余弦值为.

(2)＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)．

设平面PDC的一个法向量为u＝(x，y，z)，

则取z＝1，得u＝(1,1,1)．

∴B点到平面PCD的距离为

d＝＝.

(3)假设存在一点Q，则设＝λ (0<λ<1)．

∵..＝(0,1，－1)，

∴＝(0，λ，－λ)＝－，

∴＝(0，λ，1－λ)，∴Q(0，λ，1－λ)．

设平面CAQ的一个法向量为m＝(x，y，z)，

又＝(1,1,0)，AQ＝(0，λ＋1,1－λ)，

则

取z＝λ＋1，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，

又平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)，

二面角Q­AC­D的余弦值为，

所以|cos〈m，n〉|＝＝，

得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝或λ＝3(舍)，

所以存在点Q，且＝.

（1），（2）．

试题分析：（1）利用空间向量求线线角，关键在于正确表示各点的坐标. 以为正交基底，建立空间直角坐标系．则，，，，所以，,因此，所以异面直线与夹角的余弦值为．（2）利用空间向量求二面角，关键在于求出一个法向量. 设平面的法向量为，则 即取平面的一个法向量为；同理可得平面的一个法向量为；由两向量数量积可得二面角平面角的余弦值为．

试题解析：

如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．

则，，，，所以，，

，．

（1）因为，

所以异面直线与夹角的余弦值为．                    4分

（2）设平面的法向量为，

则 即

取平面的一个法向量为；

所以二面角平面角的余弦值为．                       10分