热门试卷

（1）见解析（2）（3）－

(1)∵平面ABD⊥平面BDC，又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BDC，故AB⊥DC，又∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，BCABC平面ABC，DC平面ABC，故DC⊥平面ABC.

(2)如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD＝a，则BD＝AB＝2a，BC＝a，AD＝2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，C，F(a，0，a)，

∴＝，＝(a，0，a)．

设BF与平面ABC所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC，

∴cos＝＝＝，∴sinθ＝.

(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，

∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角.

在△AEB中，AE＝BE＝AC＝a，

∴cos∠AEB＝＝－，即所求二面角B－EF－A的余弦为－.

（1）（2）

(1)由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).＝(1，2，－3)，＝(0，4，0).

设平面A1C1D的一个法向量为n＝(x，y，z)．

∵n·＝x＋2y－3z＝0，n·＝4y＝0.

∴x＝3z，y＝0.令z＝1，得x＝3.n＝(3，0，1)．

设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，

∵＝(1，－2，3)，

∴sinθ＝|cos〈·n〉|＝＝.

(2)设平面A1B1D的一个法向量为m＝(a，b，c)．

＝(2，0，0)，∵m·＝a＋2b－3c＝0，m·＝2a＝0，

∴a＝0，2b＝3c.令c＝2，得b＝3.m＝(0，3，2)．

设二面角B1A1DC1的大小为α，

∴|cosα|＝cos|〈m，n〉|＝，则sinα＝＝.

∴二面角B1A1DC1的正弦值为.

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）连接交于点，得知为的中点，连接

根据点为中点，利用三角形中位线定理，得出，进一步得到

面.

（2）首先探究几何体中的线面、线线垂直关系，创造建立空间直角坐标系的条件，应用“向量法”，确定二面角的余弦值.

解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.

试题解析：（1）连接交于点，则为的中点，连接

因为点为中点，所以为的中位线，

所以                       2分

面，面，

所以面       4分

（2）取中点，的中点，连接，则，

所以共面

作于，于，则且

，

和全等，

和全等，

，为中点，

又，，面

，面                      6分

以为原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，设，则，

，

设面的法向量

，

由，令

                               8分

设面的法向量

，

由，令

                             10分

设二面角的平面角为，

则              12分

(1)证明见解析；（2）．

试题分析：（1）根据条件，，为坐标轴建立空间直角坐标系，然后得到相关点的坐标，通过计算，从而使问题得证；（2）设为平面的一个法向量，利用与求得法向量，然后通过利用公式可求得点到平面的距离．

试题解析：如图建系，

则，则．

（1），

，．

（2）设为平面的一个法向量，

由，

取，则，，，

，点到平面的距离为．