热门试卷

（1）证明过程详见解析（2）；（3）点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处.

试题分析：本题主要以正方体为几何背景考查线线垂直、线面角、点到直线的距离、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、转化能力、计算能力.第一问，根据已知条件中的垂直关系，建立空间直角坐标系，要证明DA1⊥ED1，只需证明即可，建立空间直角坐标系后，写出有关点的坐标，得到向量和的坐标，利用向量的数量积的计算公式进行计算；第二问，先利用求平面法向量的计算公式，求出平面的法向量，由已知直线与平面成角为，利用夹角公式得到方程，解出m，即的值；第三问，由图形得到结论.

试题解析：解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则D(0,0,0),A（1，0，0），B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0≤m≤1）

（1）证明：，

所以DA1⊥ED1.                              4分

（2）设平面CED1的一个法向量为,则

，而，

所以取z=1,得y=1,x=1-m，得.

因为直线DA1与平面CED1成角为45o，所以

所以，所以，解得m=.  11分

（3）点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处.   14分

（1）详见解析，（2）

试题分析：（1）要证明平面，需证明及，前面在平面中证明，利用勾股定理，即通过计算设，则.∴，∴.后者通过线面垂直与线线垂直的转化得，即由面面，得面，再得。（2）求二面角的余弦值，可通过作、证、算，本题可过作,则为所求二面角的平面角.也可利用空间向量求，先建系，求出平面及平面的法向量，利用向量数量积求出两法向量的夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得出结论.

试题解析：（1）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.

又三棱柱为直三棱柱，

∴面面，

∴面，.     2分

设，则.

∴，∴.           4分

又，∴ 平面.          6分

（2）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，

则，

，.          8分

由（1）知，平面，

∴可取平面的法向量.

设平面的法向量为，

由

∴可取.          10分

设锐二面角的大小为，

则.

∴所求锐二面角的余弦值为.          12分

(1)见解析   (2)

(1)∵SD⊥平面ABCD,SD⊂平面SAD,

∴平面SAD⊥平面ABCD;

又∵AB⊥AD,∴AB⊥平面SAD,∴DE⊥AB,

∵SD=AD,E是SA的中点,∴DE⊥SA.

∵AB∩SA=A,∴DE⊥平面SAB.

又DE⊂平面BED,

∴平面BED⊥平面SAB.

(2)以D为原点,以DA,DC,DS分别为坐标轴建立空间直角坐标系Dzyz,不妨设AD=2,

则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,,0),

C(0,,0),S(0,0,2),E(1,0,1).

=(2,,0),=(1,0,1),

设m=(x1,y1,z1)是平面BED的一个法向量,

则 

即

因此可取m=(-1,,1).

又=(2,0,-2),

设直线SA与平面BED所成的角为θ,

则sinθ==⇒θ=,

即直线SA与平面BED所成的角为.

（1）证明过程详见解析；（2）

试题分析：本题主要考查线面位置关系的证明、二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和计算能力.第一问，法一：利用E、F为PC、OC中点，得，由于平面，所以，利用面面垂直的判定得平面平面，因为PO为等腰三角形底边上的高，所以，由于AD是面ABCD与面PAD的交线，所以平面，又因为，所以平面，所以EF垂直面内的线AB，在中根据已知的边长可知，所以利用线面垂直的判定得平面，从而得；第二问，作出辅助线HE，AE，利用线面垂直平面ABCD，先得到面面垂直平面平面，得平面POC，所以AH垂直面内的线PC，在等腰三角形APC中，，利用线面垂直得平面AHE，则，得出为二面角的平面角，在三角形内解出的正弦值，再求；法二：第一问，要证明，只需证明，根据已知条件找出垂直关系，建立空间直角坐标系，根据边长写出各个点坐标，计算出向量和的坐标，再计算数量积；第二问，利用第一问建立的空间直角坐标系，先计算出平面PAC和平面POC的法向量，利用夹角公式直接求夹角的余弦值.

试题解析：解法一：（1）设，连接,

分别是、的中点，则，…1分

已知平面，平面，所以平面平面，

又，为的中点，则，

而平面平面，

所以平面，

所以平面，

又平面，所以；     3分

在中，，；

又，所以平面，

又平面，所以.           6分

（2）在平面内过点作交的延长线于，连接，，

因为平面，所以平面平面，

平面平面，所以平面，

平面，所以；

在中，，是中点，故；

所以平面，则．

所以是二面角的平面角．  10分

设，

而，

，则，

所以二面角的余弦值为．                          12分

解法二：

因为平面，平面，所以平面平面，

又，是的中点，则，且平面平面，

所以平面．                2分

如图，以O为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.

 4分

，，所以．  6分

（2），，

设平面的法向量为，

则

令，得．     8分

又，，

所以平面的法向量，              10分

，

所以二面角的余弦值为．              12分