热门试卷

（1）见解析（2）

(1)G，H分别为CE，CF的中点，

所以EF∥GH，

连接AC与BD交于O，因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点，

连接OG，OG是三角形ACE的中位线，OG∥AE，

又EF∩AE＝E，GH∩OG＝G，则平面AEF∥平面BDGH，

(2)因为BF⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，

所以BF⊥平面ABCD，

取EF的中点N，连接ON，则ON∥BF，∴ON⊥平面ABCD，

建立空间直角坐标系如图所示，设AB＝2，BF＝t，

则B(1,0,0)，C(0，，0)，F(1,0，t)，

H，＝(1,0,0)，＝，

设平面BDGH的法向量为n1＝(x，y，z)，

取n1＝(0，－t，)，

平面ABCD的法向量n2＝(0,0,1)，

|cos〈n1，n2〉|＝＝，所以t2＝9，t＝3.

所以＝(1，－，3)，设直线CF与平面BDGH所成的角为θ，

sin θ＝|cos〈，n1〉|＝＝.

（1）见解析；（2）见解析；（3）

试题分析：（1）利用已有平行关系，可得到

 得到而得证.

(2)通过证明 以点为坐标原点，，建立空间直角坐标系，根据计算它们的数量积为零，得证.

(3)由已知可得是平面的一个法向量.

确定平面的一个法向量为

利用得解.

（1）证明：，

.

             2分

    4分

(2)证明：,

  6分

以点为坐标原点，，建立空间直角坐标系如图所示，由已知得

                                 8分

(3)由已知可得是平面的一个法向量.

设平面的一个法向量为，

，

     10分

设二面角的大小为，

则    11分

         12分

（1）证明见解析；（2）．

试题分析：

解题思路：（1）利用线面垂直的性质推得线线垂直：（2）建立空间坐标系，利用二面角A­PB­D的余弦值为，求出PD;进而利用空间向量求线面角的正弦值.

规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住并灵活进行转化，线线关系是关键；涉及夹角、距离问题以及开放性问题，要注意利用空间直角坐标系进行求解.

试题解析：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴PD⊥AC，

∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，

∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE.

(2)在△PDB中，EO∥PD，∴EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设PD＝t，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，，P(0，－，t)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，t)．

由(1)知，平面PBD的一个法向量为n1＝(1,0,0)，设平面PAB的法向量为n2＝(x，y，z)，则根据,

得，令y＝1，得平面PAB的一个法向量为

∵二面角A­PB­D的余弦值为，

则|cos〈n1，n2〉|＝，即

＝，解得t＝2或t＝－2 (舍去)，

∴P(0，－，2)．

设EC与平面PAB所成的角为θ，

∵＝(－1,0，－)，n2＝(，1,1)，

则sin θ＝|cos〈，n2〉|＝，

∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.

（1）证明详见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.

试题分析：（1）要证⊥平面，只须证明与平面内的两条相交直线垂直即可，对于的证明，只需要根据题中面面垂直的性质及线面垂直的性质即可得出，对于的证明，这需要在平面的直角梯形中根据及得出，进而可得出，问题得以证明；（2）分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，进而写出有效点的坐标，设平面的法向量，由确定该法向量的一个坐标，进而根据线面角的向量计算公式即可得出直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：由已知条件可知：在中，，所以

在中，，所以

所以……①

又因平面⊥平面，面……②

由①②及可得⊥平面

（2）如图分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系

则，,,

所以，

设平面的法向量，则有：

即，取，则

设直线直线与平面所成角为，有

所以直线与平面所成角的正弦值为.