热门试卷

(1) 详见解析 (2)

试题分析:(1)要证明线面垂直,只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可,即证明与垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面为菱形,进而得到均为中点,得到三者相互平行,四边形均为矩形与平行相结合即可得到与垂直,进而证明线面垂直.

(2)要求二面角,此问可以以以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角, 过作的垂线交于点,连接.利用(1)得到,在利用四边形为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到垂直于平面,进而得到,结合得到线面垂直,说明角即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为,利用勾股定理求出相应边长即可得到角的余弦值,进而得到二面角的余弦值.

(1)证明:四棱柱的所有棱长都相等

四边形和四边形均为菱形

分别为中点

四边形和四边形为矩形

且

又且底面

底面.

(2)法1::过作的垂线交于点,连接.不妨设四棱柱的边长为.

底面且底面面

面

又面

四边形为菱形

又且,面

面

又面

又且,面

面

为二面角的平面角,则

且四边形为菱形

,,

则

再由的勾股定理可得,

则,所以二面角的余弦值为.

法2:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形是菱形,因此,又面,从而两两垂直,如图以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,不妨设,因为,所以,,于是各点的坐标为:,已知是平面的一个法向量,设是平面的一个法向量,则,,取,则,

所以,,故二面角的余弦值为.

：解法一：(Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，

又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，

故，由，，，得

，．

的面积．

连结，得的面积

设到平面的距离为，由于，得，解得．

设与平面所成角为，则．

所以，直线与平面所成的我为．

解法二：

（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．因为，所以．又，为等腰直角三角形，．如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，

，，，，，

，，所以．

（Ⅱ）取中点，，连结，取中点，连结，．，，．

，，与平面内两条相交直线，垂直．

所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．

，．，，

所以，直线与平面所成的角为

略

(1)解：V=

==48米3

答：正四棱锥的体积

为48米3

(2)过点S做SEBC于点E，连结OE，则SE是斜高

在直角三角形SOE中，SE=

=米2

=+=60+=96米2

答：正四棱锥的表面积为96米2

略