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题型:简答题
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简答题

如图,四棱锥中,平面平面,//,,

,且.

(1)求证:平面

(2)求和平面所成角的正弦值;

(3)在线段上是否存在一点使得平面平面,请说明理由.

正确答案

(1)证明过程详见解析;(2);(3)在线段上存在一点使得平面平面.

试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线面角、向量法等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力、转化能力.第一问,在中,求出,在中,求出, 在中,三边符合勾股定理,所以, 利用面面垂直的性质,得平面; 第二问,利用第一问的证明得到垂直关系,建立空间直角坐标系,得到平面BDF和平面CDE中各点的坐标,得出向量坐标,先求出平面CDE的法向量,利用夹角公式求BE和平面CDE所成的角的正弦值;第三问,假设存在F,使得,用表示,求出平面BEF的法向量,由于两个平面垂直,则两个法向量垂直,则, 解出.

(1)由.,

可得

,且

可得

所以

又平面平面

平面 平面 

平面

所以平面.             5分

(2)如图建立空间直角坐标系

是平面的一个法向量,则

 

,则

设直线与平面所成的角为

所以和平面所成的角的正弦值.           10分

(3)设

.

是平面一个法向量,则

 

,则

若平面平面,则,即.

所以,在线段上存在一点使得平面平面.     14分

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题型:简答题
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简答题

如图,在四棱锥中,平面,底面是直角梯形,,且的中点.

(1)设与平面所成的角为,二面角的大小为,求证:

(2)在线段上是否存在一点(与两点不重合),使得∥平面? 若存在,求的长;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)详见解析;(2)存在,的长为.

试题分析:(1)直线和平面所成的角以及二面角的计算,可以考虑两种方法,其一利用传统立体几何的方法,由已知得,,又,故,则,由平面,故,则,然后分别在直角三角形中,求,或者可以建立空间直角坐标系,通过平面的法向量和直线的方向向量求直线和平面所成的角,利用两个半平面的法向量来求二面角的大小;(2)建立空间直角坐标系,设点,并求出半平面的法向量,利用和法向量垂直,列等式,即可求解.

试题解析:解法一:(1)证明: 又

                                       1分

平面,     2分

               3分

,                5分

                                   6分

(2)取的中点,连,由相似得,,  7分

上取点,使,则,                     8分

上取点使,由于平行且等于,               

故有平行且等于,                                               9分

四边形为平行四边形,所以,                             10分

, 故有∥平面,                                   11分

所以在线段上存在一点使得∥平面的长为.          12分

解法二:(1)同解法一;

(2)如图,以为原点,所在直线分别为轴,建立直角坐标系,则,的中点,则     7分

假设存在符合条件的点,则共面,

故存在实数,使得         9分  

,故有  11分

即存在符合条件的点的长为.            12分

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题型:填空题
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填空题

=(1,0,2),=(0,1,2),则|-2|=______.

正确答案

=(1,0,2),=(0,1,2)

-2=(1,-2,-2)

∴|-2|==3

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题型:简答题
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简答题

已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求以为边的平行四边形的面积;

(2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a的坐标.

正确答案

(1);(2) a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).

试题分析:(1)由点的坐标可得坐标,进而求得模长,及夹角余弦,可利用同角间基本关系式求得夹角正弦,以为边的平行四边形的面积,应该是以为边的三角形面积的二倍,利用三角形面积公式可求得;(2)设,由两向量垂直坐标满足的关系式得关于的方程组,解方程可得向量a的坐标.

解:(1)由题意可得:

,  4分

,∴以为边的平行四边形的面积为

.     6分

(2)设a=(x,y,z),

由题意得

解得

∴a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1)            12分

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题型:简答题
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简答题

如图,四棱锥中,⊥平面,是矩形,

直线与底面所成的角等于30°,.

(1)若∥平面,求的值;

(2)当等于何值时,二面角的大小为45°?

正确答案

解:(1)∵平面PBC平面PAC=AC,EF平面PBC,若EF∥平面PAC,

则EF∥PC,又F是PB的中点,∴E为BC的中点,∴………4分

(2)以A为坐标原点,分别以AD、AB、AP所在直线为轴、轴、

建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(0,1,0),F(0,),

D(,0,0), 设,则E(,1,0)

求得平面PDE的法向量,平面ADE的法向量,…8分

解得(舍去),

所以当时,二面角的大小45°。

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