- 空间向量的概念
- 共438题
如图,四棱锥中,平面
平面
,
//
,
,
,且
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求和平面
所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在一点
使得平面
平面
,请说明理由.
正确答案
(1)证明过程详见解析;(2);(3)在线段
上存在一点
使得平面
平面
.
试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线面角、向量法等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力、转化能力.第一问,在中,求出
,在
中,求出
, 在
中,三边符合勾股定理,所以
, 利用面面垂直的性质,得
平面
; 第二问,利用第一问的证明得到垂直关系,建立空间直角坐标系,得到平面BDF和平面CDE中各点的坐标,得出向量坐标,先求出平面CDE的法向量,利用夹角公式求BE和平面CDE所成的角的正弦值;第三问,假设存在F,使得
,用
表示,求出平面BEF的法向量,由于两个平面垂直,则两个法向量垂直,则
, 解出
.
(1)由,
.,
可得.
由,且
,
可得.
又.
所以.
又平面平面
,
平面
平面
,
平面
,
所以平面
. 5分
(2)如图建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
.
设是平面
的一个法向量,则
,
,
即
令,则
.
设直线与平面
所成的角为
,
则.
所以和平面
所成的角的正弦值
. 10分
(3)设,
.
,
,
.
则.
设是平面
一个法向量,则
,
,
即
令,则
.
若平面平面
,则
,即
,
.
所以,在线段上存在一点
使得平面
平面
. 14分
如图,在四棱锥中,
平面
,底面
是直角梯形,
,
∥
,且
,
,
为
的中点.
(1)设与平面
所成的角为
,二面角
的大小为
,求证:
;
(2)在线段上是否存在一点
(与
两点不重合),使得
∥平面
? 若存在,求
的长;若不存在,请说明理由.
正确答案
(1)详见解析;(2)存在,的长为
.
试题分析:(1)直线和平面所成的角以及二面角的计算,可以考虑两种方法,其一利用传统立体几何的方法,由已知得,,又
,故
面
,则
,由
平面
,
,故
,则
,然后分别在直角三角形中,求
,或者可以建立空间直角坐标系,通过平面的法向量和直线的方向向量求直线和平面所成的角,利用两个半平面的法向量来求二面角的大小;(2)建立空间直角坐标系,设点
,并求出半平面
的法向量,利用
和法向量垂直,列等式,即可求解.
试题解析:解法一:(1)证明: 又
1分
又平面
,
,
面
2分
∴ 3分
, 5分
6分
(2)取的中点
,连
交
于
,由
与
相似得,
, 7分
在上取点
,使
,则
, 8分
在上取点
使
,由于
平行且等于
,
故有平行且等于
, 9分
四边形为平行四边形,所以
, 10分
而, 故有
∥平面
, 11分
所以在线段上存在一点
使得
∥平面
,
的长为
. 12分
解法二:(1)同解法一;
(2)如图,以为原点,
所在直线分别为
轴,建立直角坐标系,则
,
为
的中点,则
7分
假设存在符合条件的点,则
共面,
故存在实数,使得
9分
即,故有
即
11分
即存在符合条件的点,
的长为
. 12分
若=(1,0,2),
=(0,1,2),则|
-2
|=______.
正确答案
∵=(1,0,2),
=(0,1,2)
∴-2
=(1,-2,-2)
∴|-2
|=
=3
已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以,
为边的平行四边形的面积;
(2)若|a|=,且a分别与
,
垂直,求向量a的坐标.
正确答案
(1);(2) a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).
试题分析:(1)由点的坐标可得,
坐标,进而求得模长,及夹角余弦,可利用同角间基本关系式求得夹角正弦,以
,
为边的平行四边形的面积,应该是以
,
为边的三角形面积的二倍,利用三角形面积公式可求得;(2)设
,由两向量垂直坐标满足的关系式得关于
的方程组,解方程可得向量a的坐标.
解:(1)由题意可得:,
,
∴, 4分
∴,∴以
,
为边的平行四边形的面积为
. 6分
(2)设a=(x,y,z),
由题意得,
解得或
.
∴a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1) 12分
如图,四棱锥中,
⊥平面
,
是矩形,
,
直线与底面
所成的角等于30°,
,
.
(1)若∥平面
,求
的值;
(2)当等于何值时,二面角
的大小为45°?
正确答案
解:(1)∵平面PBC平面PAC=AC,EF
平面PBC,若EF∥平面PAC,
则EF∥PC,又F是PB的中点,∴E为BC的中点,∴………4分
(2)以A为坐标原点,分别以AD、AB、AP所在直线为轴、
轴、
轴
建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(0,1,0),F(0,,
),
D(,0,0), 设
,则E(
,1,0)
求得平面PDE的法向量(
,平面ADE的法向量
,…8分
∴,
解得或
(舍去),
所以当时,二面角
的大小45°。
略
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