热门试卷

（1）见解析；（2）。

试题分析：（1）取DE中点G，连接FG,AG，平面，只需证平面AFG∥平面CBD，又平面，平面，故只需证∥平面CBD，∥平面CBD即可；

（2）要求平面与平面所成锐角的余弦值，需找两平面的法向量，取中点为H，连接DH，可证， 故以中点H为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知是平面的一个法向量，由可得平面的一个法向量为，然后由空间两向量夹角公式去求平面与平面所成锐角的余弦值。         

试题解析：（1）证明：取DE中点G，连接FG,AG，CG.因为 CFDG,所以FG∥CD.因为 CGAB, ,

所以AG∥BC.所以平面AFG∥平面CBD， 所以 AF∥平面CBD.   

（2）解: 取中点为H，连接DH.,，

.，.

以中点H为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以的中点坐标为因为，所以易知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为

由  

令则，，

,

所以面与面所成角的余弦值为.

(1)见解析   (2)    (3) 见解析

解：(1)证明：因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.

(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.

由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，

所以AB⊥AC.

如图，以A为原点建立空间直角坐标系A­xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，

＝(0,3，－4)，＝(4,0,0)．

设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．

同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m＝(3,4,0)．

所以cos〈 n，m〉＝＝.

由题知二面角A1­BC1­B1为锐角，

所以二面角A1­BC1­B1的余弦值为.

(3)证明：设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且＝λ.

所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．

解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.

所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．

由·＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝.

因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，

使得AD⊥A1B.此时，＝λ＝.

(1)    (2)见解析

解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)．

(1)∵＝(－a，a，a)，＝(0,0，a)，

∴cos〈，〉＝＝，

所以异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为.

(2)证明：∵＝(－a，－a，a)，

＝(－2a,0,0)，＝(0，a，a)，

∴∴FB1⊥BB1，FB1⊥BC.

∵BB1∩BC＝B，∴FB1⊥平面BCC1B1.