热门试卷

（1）（2）

(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)．

因为cos〈，〉＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.

(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，

因为＝(1，1，0)，＝(0，2，4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，

取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2，1)是平面ADC1的一个法向量．

取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0，1，0)，

设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.

由|cosθ|＝＝，得sinθ＝.

因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.

（1）（2）

(1)以O为原点，底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在的线为y轴，OP所在的线为z轴，建立空间直角坐标系，则

B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．

设F(x0，y0，0)(x0>0，y0>0)，且＋＝4，

则＝(x0，y0－1，－2)，＝(0，1，0)，

∵EF⊥DE，即⊥，则·＝y0－1＝0，故y0＝1.

∴F(，1，0)，＝(，0，－2)，＝(0，－2，2)．

设异面直线EF与BD所成角为α，则cosα＝.

(2)设平面ODF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则

令x1＝1，得y1＝－，平面ODF的一个法向量为n1＝(1，－，0)．

设平面DEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

同理可得平面DEF的一个法向量为n2＝.

设二面角ODFE的平面角为β，则|cosβ|＝＝.

∴sinβ＝.

(1)详见解析， (2)

试题分析：(1)折叠问题，首先要明确折叠前后量的变化，尤其是垂直条件的变化，本题要证明线面垂直，首先找线线垂直，折叠前后都有条件,而折叠后直线变为两条相交直线，因此可由线面垂直判定定理得到BC⊥平面AFG ，(2)求二面角，有两个方法，一是作出二面角的平面角，二是利用空间向量计算；本题易建立空间直角坐标系，较易表示各点坐标，因此选择利用空间向量求二面角.下面的关键是求出两个平面的法向量，平面ADE的一个法向量易求，而平面ABE的一个法向量则需列方程组求解，最后利用数量积求夹角的余弦值

试题解析：(1) 在图甲中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC．            2分

在图乙中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AFFG=F，所以DE⊥平面AFG．

又DE//BC，所以BC⊥平面AFG．                    4分

(2) 因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，所以FA，FD，FG两两垂直．

以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，所以，0)．              6分

设平面ABE的一个法向量为．

则，即，

取，则，，则．            8分

显然为平面ADE的一个法向量，

所以．                  10分

二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．   12分

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

试题分析：（1）连接和交于点，连接，证为平行四边形得//，根据线面平行的判定定理即可证得//平面。（2）用空间向量法证两向量数量积为0。（3）用空间向量法求两向量所成角的余弦值，但应注意两空间向量所成角范围为，异面直线所成角范围为，所以其余弦值应为正数。

试题解析：

（1）（方法一）连接和交于点，连接，由长方体知//且，

所以四边形为平行四边形，所以//，又平面，平

面，故//平面。            （4分）

（方法二）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则,

,.,,,

从而，故故//平面。 （4分）

（2）由（1）的方法二可知，

∴，   （6分）

∴.    （7分）

所以              （8分）

（3）由（1）、（2）知，，设异面直线AF与BD所成

的角为q，则，

故异面直线与所成角的余弦值为                 （12分）