热门试卷

证明：（I）取DD1的中点M，连结A1M，CM

由题意可得AA1=DM=2，AA1∥DM

∴四边形AA1MD为平行四边形

即A1M∥AD，A1M=AD

又由底面ABCD为正方形

∴AD∥BC，AD=BC

∴A1M∥BC，A1M=BC

∴四边形A1BCM为平行四边形

∴A1B∥CM

又∵A1B⊄平面CDD1C1，CM⊂平面CDD1C1；

∴A1B∥平面CDD1C1；

（II）连结BD

∵AA1⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD

∴AA1⊥AB

又∵AD⊥AB，AD∩AA1=A

∴AB⊥平面A1ADD1，

同理可证BC⊥平面CDD1C1，

∴V=+=×（+4×2×2）=

解：（Ⅰ）连接AC交BD于F，连接EF，由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，

又E为SC的中点，所以SA∥EF，

∵SA⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，

∴SA∥平面BDE．（4分）

（Ⅱ）由AB=2，AD=，∠BAD=30°，及余弦定理得

取BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos∠BAD=1，

∵AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．

∵SD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴AD⊥SD，

∴AD⊥平面SBD，又SB⊂平面SBD，

∴AD⊥SB．（8分）

（Ⅲ）SD=2，所以E到底面的距离为1，

=，

（12分）

证明：（I）连接A1B交AB1于E，连接EF，

∵EF为△A1BC1的中位线，

∴EF∥BC1，

又∵EF⊂平面AB1F，BC1 ⊄平面AB1F

∴BC1∥平面AB1F，

（Ⅱ）在正三棱柱中，∵B2F⊥A1C1，面A1C1B1⊥面ACC1A1，

∴B1F⊥平面AA1C1C，

∵A1M⊂平面AA1C1C，

∴B1F⊥A1M，

在△AA1F中，=2，

在△A1MC1中，=2

∴∠AFA1=∠A1MC1，

又∵∠A1MC1+∠MA1C1=90°，

∴∠AFA1+∠MA1C1=90°，

∴A1M⊥AF，

又∵AF∩B1F=F，

∴A1M⊥平面AFB1．

解：（Ⅰ）取AB中点G，连接GF，GC，∵EC∥AG，EC=AG，∴四边形AECG为平行四边形，∴AE∥GC，（2分）

在△ABP中，GF∥AP（3分）

又GF∩GC=G，AE∩AP=A

所以平面APE∥平面FGC（5分）

又FC⊂平面FGC

所以，CF∥面APE（6分）

（Ⅱ）PA=PE，OA=OE∴PO⊥AE

取BC的中点H，连OH，PH，∴OH∥AB，∴OH⊥BC

因为PB=PC∴BC⊥PH，所以BC⊥面POH

从而BC⊥PO（10分）

又AB和CE平行且不相等，∴BC与AE相交，

∴PO⊥面ABCE（12分）

解：（1）∵O是AB的中点，取PA得中点M，则OM为△PAB的中位线，故有OM∥PB．

而OM不在平面PBC内，PB在平面PBC内，故有OM∥平面PBC．

（2）在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB=2，故△ABC为等腰直角三角形，

故CO⊥AB，且CO=1．

再由OM=PB=，CM===，可得CM2=CO2+OM2，

∴CO⊥OM．

这样，CO垂直于平面PAB内的两条相交直线，故CO⊥平面PAB．

而CO在平面ABC内，故有平面PAB⊥平面ABC．

解：

（1）证明：如图，取AD中点M，连接FM、MG，

由条件知EF∥DC∥MG，

所以E、F、M、G四点共面，

又由三角形中位线定理知MF∥PA，

所以AP∥平面EFG，（6分）

（2）由条件知，CD⊥AD，CD⊥PD，

所以，CD⊥平面PAD，（8分）

又EF为三角形PCD的中位线，所以EF∥CD，

所以EF⊥平面PAD，

即DP⊥EF，MF⊥EF，（10分）

所以∠MFD为二面角G-EF-D的平面角，（11分）

在Rt△FDM中，易知DM=DF=1

所以∠MFD=45°，

即二面角G-EF-D的大小为45°（14分）

解：（1）证明：设DE和CB的延长线交与点H，由菱形ABCD中，∠A=60°，线段AB的中点是E，可得 BE∥CD，

且 BE=CD，故BE是△HCD的中位线，B为HC的中点．∵线段FC的中点是G，∴BG是△CFH的中位线，

故BG∥FH，而FH⊂平面FDE，BG 不在平面FDE 内，故直线BG∥平面FDE．

（2）由菱形ABCD中，∠A=60°，得△ABD为正三角形．∵线段AB的中点是E，∴DE⊥AE，EF⊥DE．

又平面FDE和平面EBCD垂直，∴折后EF⊥平面EBCD，平面FEC和平面EBCD垂直．

证明：（1）在图1中，因为∠ABC=∠BAD=90°，所以AD∥BC．

因为F，G分别是CD，AB的中点，所以FG∥AD∥BC．

在图2中，因为FG∥AD，FG∥BC，所以AD∥BC．

因为BC=2AD，E是BC的中点，所以AD=BE．

所以四边形ABED是平行四边形．

所以AB∥DE．

因为∠GAD=∠GBC=90°，FG∥AD，FG∥BC，

所以AG⊥FG，且BG⊥FG．

因为AG∩BG=G，且AG，BG⊂平面AGB，所以FG⊥平面AGB．

因为AB⊂平面AGB，所以FG⊥AB．

所以DE⊥FG．

（2）当M在线段BG上，且BM=2MG时，AM∥平面BDF．

证明如下：

在线段BF上取点N，使BN=2NF．

因为FG是梯形ABCD的中位线，BC=2AD=4，

所以FG∥AD，且FG=3．

因为BM=2ME，BN=2NF，所以MN∥FG，且MN=

所以

所以四边形MNDA是平行四边形．

所以AM∥DN．

又因为DN⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，

所以AM∥平面BDF．