热门试卷

解：（Ⅰ）∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴B1C1⊥平面AA1B1B；

∵A1B⊆平面AA1B1B，∴B1C1⊥A1B．                 …（2分）

又∵正方形AA1B1B中，A1B⊥AB1，且B1C1、AB1是平面ADC1B1内的相交直线

∴A1B⊥平面ADC1B1．…（4分）

∵A1B⊆平面A1BE，∴平面ADC1B1⊥平面A1BE．…（6分）

（Ⅱ）当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE．…（7分）

证明如下：

∵△C1D1D中，EF是中位线，∴EF∥C1D且EF=C1D，…（9分）

设AB1∩A1B=O，则平行四边形AB1C1D中，B1O∥C1D且B1O=C1D，

∴EF∥B1O且EF=B1O，

∴四边形B1OEF为平行四边形，B1F∥OE．…（11分）

∵B1F∉平面A1BE，OE∈平面A1BE，

∴B1F∥平面A1BE                                  …（13分）

解：（Ⅰ）取AD的中点N，连接MN，NF．

在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，

∴MN∥AB，MN=．

又∵EF∥AB，EF=，∴MN∥EF且MN=EF，∠CPD最大

∴四边形MNFE为平行四边形，可得EM∥FN．

又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，

∴EM∥平面ADF．…（6分）

（Ⅱ）假设在EB上存在一点P，使得∠CPD最大．

∵EB⊥平面ABD，CD⊆平面ABD，∴EB⊥CD．

又∵CD⊥BD，EB∩BD=B，∴CD⊥平面EBD．…（8分）

在Rt△CPD中，．

∵CD为定值，且∠CPD为锐角，

∴要使∠CPD最大，只要DP最小即可．显然，当DP⊥EB时，DP最小．

因为DB⊥EB，所以当点P在点B处时，使得∠CPD最大．…（11分）

Rt△PCD中，=．

所以在EB上存在一点P，使得∠CPD最大，且∠CPD的正切值为．…（13分）

解：

（1）证明：取BC的中点O，∵P、Q分别为DE、AB的中点，则OQ是△ABC的中位线，∴OQ∥AC，OQ∥面ACD．

∵EB∥DC，∴OP是梯形BCDE的中位线，∴OP∥CD，OP∥面ACD．

这样，面POQ中，由两条相交直线 OQ、OP都和面ACD 平行，∴面OPQ∥面ACD，∴PQ∥平面ACD．

（2）由EB∥DC 可得DC∥面ABE，故D、C两点到 面ABE的距离相等，

∴B-ADE的体积VB-ADE=VD-ABE=VC-ABE． C到AB的距离等于 ==．

 VC-ABE=（•AB•BE）•=．故几何体B-ADE的体积为 ．

解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．…（2分）

当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，

故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分）

（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以VP-BMQ=VA-BMQ=VM-ABQ，

取CD的中点K，连结MK，所以MK∥PD，，…（7分）

又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．

又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，，…（10分）

所以VP-BMQ=VA-BMQ=VM-ABQ=.，…（11分）

则点P到平面BMQ的距离d=…（12分）

解：（1）取A1D1的中点P，D1P的中点H，连接DP、EH，则DP∥B1G，EH∥DP

∴EH∥B1G，又B1G⊂平面FGB1，∴EH∥平面FGB1．

即H在A1D1上，且HD1=A1D1，使EH∥平面FGB1                              （6分）

（2）以D为原点，直线DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则E（0，0，），F（0，1，1），B1（1，2，1），G（，2，0），

∴，，，

设平面FGB1的法向量

由得，∴x=-2，y=2，

∵E到平面FGB1的距离d==

，，，

∵=，

∴sin∠FB1G=．

∴．

         （12分）

证明：∵P、Q、R分别是AB、AD、CD的中点，

∴PQ是△ABD的中位线，

∴PQ∥BD，PQ⊄BCD，BD⊂平面BCD，

∴PQ∥平面BCD；

又平面PQRS∩平面BCD=RS，PQ⊂平面PQRS，

∴PQ∥RS；

同理可证，QR∥PS，

∴四边形PQRS为平行四边形．