热门试卷

（1）证明：∵BC∥平面EFGH，BC平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF，

∴BC∥EF，同理BC∥GH，

∴EF∥GH，同理EH∥FG，

∴四边形EGFH为平行四边形．

（2）解：∵AD与BC成60°角，

∴∠HGF=60°或120°，

设AE：AB=x，∵，BC=a，

∴EF=ax，由，得EH=a（1-x），

∴

，

当时，，

即当E为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为．

（I）证明：取PA中点H，连接CE，HE，FH

∵H，E分别为PA，PD的中点，

∴HE∥AD，HE=AD

∵ABCD是平行四边形，F为BC的中点，

∴FC∥AD，FC=AD

∴HE=FC，HE∥FC

∴四边形FCEH是平行四边形

∴EC∥HF

∵EC⊄平面PAF，HF⊂平面PAF

∴CE∥平面PAF；

（II）∵底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，

∴CA⊥AD

∵PA=BC=1，AB=

∴AC=1

∴S△AFD=•1•1=

∵PA=AD=1，PD=

∴PA⊥AD

∴PA⊥平面ABCD，

∴VP-AFD=••1=

∵E是PD的中点，

∴三棱锥P-AEF的体积VP-AFD=．

（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．∴ME∥CD，ME=CD．

又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD，∴ME∥FB，且ME=FB．

∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF．

∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，

∴BE∥平面PDF．

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴DF⊥PA．

连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．

∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．

∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．

∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．

（3）∵E是PC的中点，

∴点P到平面EFD的距离与点C到平面EFD的距离相等，故VP-DEF=VC-DEF=VE-DFC，

又S△DFC=×2×=，E到平面DFC的距离h=PA=，

∴VE-DFC=××=．

解：（1）由题意可知，四棱锥B-ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，

所以AB⊥平面ACDE

又AC=AB=AE=2，CD=4，

所以四棱锥B-ACDE的体积为

。

（2）连接MN，则MN∥CD，

又，AE∥CD

所以MNAE

所以四边形ANME为平行四边形，

所以AN∥EM

因为AN平面CME，EM平面CME，

所以AN∥平面CME。

（3）因为AC=AB，N是BC的中点，

所以AN⊥BC

又平面ABC⊥平面BCD，

所以AN⊥平面BCD

由（2）知AN∥EM，

所以EM⊥平面BCD，

又EM平面BDE，

所以平面BDE⊥平面BCD。

解：（I）取BD的中点P，连接EP，FP，则PF，

∵，∴EAPF，

∴四边形AFPE是平行四边形，∴AFEP，

又∵EP面BDE，AF平面BDE，

∴AF面BDE．

（Ⅱ）以CA，CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，由DC=AC=2AE=2，

得A（2，0，0），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2），

则，，

∵面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，AB⊥AC，

∴AB⊥面ACDE，

∴是平面CDE的一个法向量，

设面BDE的一个法向量=（x，y，z），则，

∴，即，整理，得，

令y=1，则z=2，x=1，

∴是平面CDE的一个法向量，

故===，

由图形知二面角B﹣DE﹣C的平面角，

所以二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．

解：（1）如图所示：

；

（2）证明：取PC的中点M，设AC与BD的交点为N，连接MN，ME，

∵PM=CM，AN=CN，

∴MN=，MN∥PA，

∴MN=EB，MN∥EB，故

BEMN为平行四边形

∴EM∥BN，

又EM面PEC，BD面PEC，

∴BD∥面PEC。

（3）V=VC-ABEP+VP-ACD

。

（1）依题意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．

由θ=45°得，S△ADE=DE•EAsin45°=，

∴VBCF-ADE=S△ADE•EF=．

（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，

过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，

∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1

又∵===，∴MM1=NN1

∴四边形MNN1M1为平行四边形，

∴MN∥N1M1，又MN⊄面BCF，N1M1⊂面BCF，∴MN∥面BCF．

证法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连接NG，则==，∴NG∥CF．

又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，

同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，

∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．

（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，

∴∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，

∵θ=900且a=．∴NQ=，MQ==∴MN=，--

--

∴cos∠NMQ==．

即MN与AC所成角的余弦值为．

证法二：∵θ=900且a=．

分别以FE、FB、FC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．A(1，1，0)，C(0，0，1)，M(，，0)，N(，0，)，得=(-1，-1，1)，=(0，-，)，

∴cos＜，＞==，

所以与AC所成角的余弦值为．

（Ⅰ）三棱锥E-PAD的体积V=PA•S△ADE=PA•(AD•AB)=．（4分）

（Ⅱ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．（5分）

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，

∴EF∥PC，又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，

∴EF∥平面PAC．（8分）

（Ⅲ）证明：

∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，

∴EB⊥PA，又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，

∴EB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，

∴AF⊥BE．（10分）

又PA=AB=1，点F是PB的中点，

∴AF⊥PB，

又∵PB∩BE=B，PB，BE⊂平面PBE，

∴AF⊥平面PBE．

∵PE⊂平面PBE，

∴AF⊥PE．（12分）