热门试卷

（1）证明：连接AC，AC交BD于O．连接EO．

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．

∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO，

∵EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，

∴PA∥平面EDB．

（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC．

∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．

又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．

∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD．

（1）解：∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AD，

∴三棱锥E-PAD的体积为。

（2）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行；

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，

∴EF∥PC，

又EF平面PAC，而PC平面PAC，

∴EF∥平面PAC。

（3）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，

∴EB⊥PA，

又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP平面PAB，

∴EB⊥平面PAB，

又AF平面PAB，

∴AF⊥BE，

又PA=AB=1，点F是PB的中点，

∴AF⊥PB，

又∵PB∩BE=B，PB，BE平面PBE，

∴AF⊥平面PBE，

∵PE平面PBE，

∴AF⊥PE。

（1）证明：连结BD，则，

∵ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵CE⊥面ABCD，

∴CE⊥BD，

又AC∩CE=C，

∴BD⊥面ACE，

∵，

∴BD⊥AE，

∴。

（2）证明：作的中点F，连结，

∵是的中点，

∴

∴四边形是平行四边形，

∴

∵是的中点，

∴

又，

∴

∴四边形是平行四边形，

∴

∵，，

∴平面面

又平面，

∴面。

（3）解：

。

（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC．

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．

∵BC∩B1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1．

∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．

在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=a，B1C1=CF=2a，

∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．

∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90°，可得B1F⊥FD．

∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面AFD．

（2）∵B1F⊥平面AFD，∴B1F是三棱锥B1-ADF的高

等腰△ABC中，AD==2a，

矩形BB1C1C中，DF=B1F==a

因此，三棱锥B1-ADF的体积为

V B1-AFD=×S△AFD×B1F=××AD×DF×B 1F=a3．

（3）连EF、EC，设EC∩AF=M，连结DM，

∵AE=CF=2a，∴四边形AEFC为矩形，可得M为EC中点．

∵D为BC中点，∴MD∥BE．

∵MD⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF．

①因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，

所以BO∥CD

又BC∥AD，

所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，

而AD=3BC，故点O的位置满足AO=2OD．

②证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，

所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD，

且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，

所以PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，

所以：平面PAB⊥平面PCD；

③过P作PE⊥AD，

∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，

∴PE⊥底面ABCD，

∵PD=1，AD=3BC，棱PA⊥PD，

∴PA=2

∴PE=

∵AB=2，∠BAD=90°

∴P-ABCD的体积为••(1+3)•2•=．

（1）证明：连结AC，∵四边形ABCD是矩形，N为BD中点，

∴N为AC中点，----------------------------------------------（1分）

在△ACF中，M为AF中点，故MN∥CF--------------------------（3分）

∵CF⊂平面BCF，MN⊄平面BCF，∴MN∥平面BCF；---（4分）

（2）依题意知DA⊥AB，DA⊥AE 且AB∩AE=A∴AD⊥平面ABFE

∵AP⊂平面ABFE，∴AP⊥AD，------------------（5分）

∵P为EF中点，∴FP=AB=2结合AB∥EF，知四边形ABFP是平行四边形

∴AP∥BF，AP=BF=2------------------------------------（7分）

而AE=2，PE=2，∴AP2+AE2=PE2∴∠EAP=90°，即AP⊥AE-----（8分）

又AD∩AE=A∴AP⊥平面ADE，----------------------------------（9分）

（3）∵三棱锥F-CBD与F-ABD等底等高，∴VF-BCD=VF-ABD，-----------（10分）

∴VF-ABCD=2VF-ABD=2VD-ABF，-----------------------------------------------（11分）

由（2）知△PAE为等腰直角三角形，∴∠APE=45°，从而∠FBA=∠APF=135°------（12分）

故S△ABF=AB•BFsin∠ABF=×2×2×=2

∴VD-ABF=S△ABF•DA=×2×2=

∴VF-ABCD=2VD-AEF=--------------------------------------------------（14分）

（1）解：∵BC=CD=2，

∴S△BCD=×2×2=2，

又∵DD1=1，

∴三棱锥D1-DBC的体积。

（2）证明：设C1D∩CD1=F，连结EF，

∵E为BC的中点，F为CD1的中点，

∴EF是△BCD1的中位线，

∴EF∥BD1，

又BD1在平面C1DE外，EF在平面C1DE内，

∴BD1∥平面C1DE。

（3）解：过C作CG⊥DE交DE于G，连结C1G，则DE⊥C1G，

∴∠C1GC是二面角C1-DE-C的一个平面角，

在Rt△CDE中，CD=2，CE=1，DE=，

∴CG=，

又∵CC1=1，△CC1G是直角三角形，

∴。

(1)证明：如图，连接DD1，在三棱柱ABC-A1B1C1中，

因为D、D1分别是BC、B1C1的中点，

所以B1D1∥BD，且B1D1=BD，

所以四边形B1BDD1为平行四边形，

所以BB1∥DD1，且BB1=DD1，

又因为AA1∥BB1，AA1=BB1，

所以AA1∥DD1，AA1=DD1，

所以四边形AA1D1D为平行四边形，

所以A1D1∥AD，

又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，

故A1D1∥平面AB1D。

(2)解：在△ABC中，因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．

因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD平面ABC，

所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A-B1BC的高，

在△ABC中，由AB=AC=BC=4得，

在△B1BC中，B1B=BC=4．∠B1BC=60°，

所以△B1BC的面积，

所以三棱锥B1-ABC的体积，即三棱锥A-B1BC的体积

。

证明：（I）连接AC，交BD于O，则O为AC的中点，连接EO

∵点E在CC1上且C1E=3EC，点F是线段CC1的中点

∴E为CF的中点，则OE∥AF

又∵OE⊂平面BED，AF⊄平面BED

∴AF∥平面BED

（II）如图，建立空间直角坐标系D-xyz．

则A（2，0，0）B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），F=（0，2，2），A1（2，0，4）．

则=(2，2，0)，=(2，0，4)

设=（x，y，z）为平面A1DB的一个法向量，则

令z=1，=（-2，2，1）

又∵=（0，0，4）为平面ADB的一个法向量，

则cos＜，＞==

则tan＜，＞=2

即二面角A1-DB-A的正切值为2．

（Ⅲ）三棱锥F-BED的体积等于三棱锥F-BCD与三棱锥E-BCD的差

∴VF-BED=VF-BCD-VE-BCD=•(FC-EC)•S△BCD=•FE•S△BCD=．