热门试卷

证明：（1）

在梯形ADBC中，AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

∴AD∥平面PBC；

（Ⅱ）梯形ADBC中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，AC=CD=，AD=2，

因为CD⊥PC，PA⊥平面ABCD，

所以四面体A-PCD的体积就是VP-ACD，所以底面面积为：S=××=1；又PA=是三棱锥的高．

所以VP-ACD=S•PA=×1×=．

（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，

由已知M，N分别是PA，BC的中点，

∴ME∥PD，NE∥CD

又ME，NE⊂平面MNE，ME∩NE=E，

所以，平面MNE∥平面PCD，（2分）

所以，MN∥平面PCD（3分）

（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，

所以PD⊥DA，PD⊥DC，

在矩形ABCD中，AD⊥DC，

如图，以D为坐标原点，

射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系（4分）

则D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0）C（0，1，0），P（0，0，）（6分）

所以M（，0，），=(-，-1，0)，=(-，1，-)（7分）

∵•=0，所以MC⊥BD（8分）

（3）因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，

所以BD⊥平面MCE，

所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，（9分）

由已知E(，0，0)，

所以平面PBD的法向量=(-，1，0)（10分）

M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，

又CD⊥平面PAD，AB∥CD，

所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，

所以DM⊥平面PAB，（11分）

所以平面PAB的法向量（-，0，-）

设二面角A-PB-D的平面角为θ，

则cosθ==．

所以，二面角A-PB-D的余弦值为．（12分）

解：（1）（i）因为， 平面ADD1A1，

所以平面ADD1A1，

又因为平面平面ADD1A1=，

所以

所以。

（ii）∵，

所以，

又因为，

所以，

在矩形中，F是AA1的中点，即

即，

故

所以平面。

（2） 设与交点为H，连结

由（1）知B1C1∥EF，所以是与平面所成的角

在矩形中，，，得，

在直角中，，，

得，所以BC与平面所成角的正弦值是。

解（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，

∵F,O分别为BP，PC的中点，

∴FO∥BC，且,

又ABCD为平行四边形,ED∥BC，且,

∴FO∥ED，且FO=ED

∴四边形EFOD是平行四边形  

即EF∥DO   又EF平面PDC  

∴EF∥平面PDC．

（Ⅱ）以DC为x轴，过D点做DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系，

则有D (0 ,0 , 0)，C（2，0，0）,B（2，0，3），P（，A（0，0，3）                

设，

∴则   

设平面PBC的法向量为则  即  

取y=1得

∴AF与平面PBC所成角的正弦值为.   

（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．

∵F为CD的中点，

∴GF∥DE且．

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，

∴GF∥AB．

又，

∴GF=AB．

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．

∵AF平面BCE，BG平面BCE，

∴AF∥平面BCE．

（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，

∴AF⊥CD．

∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，

∴DE⊥AF．

又CD∩DE=D，

故AF⊥平面CDE．

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．

∵BG平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．

（3）解：在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连BH．

∵平面BCE⊥平面CDE，

∴FH⊥平面BCE．

∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．

设AD=DE=2AB=2a，则

，，

Rt△FHB中，．

∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为．

方法一：（Ⅰ）证明：因为PD=PC=，CD=AB=2，

所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．                …（1分）

因为ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，所以BC⊥面CC1D1D，

而P∈平面CC1D1D，所以PD⊂面CC1D1D，所以BC⊥PD．    （3分）

因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，

所以由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．…（4分）

（Ⅱ）过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E，连接AE．…（5分）

因为面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，

所以∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角．…（6分）

因为PE=1，AE=，所以tan∠PAE===．

所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为．…（8分）

（Ⅲ）当a=2时，PC∥平面AB1D．…（9分）

当a=2时，四边形CC1D1D是一个正方形，所以∠C1DC=45°，

而∠PDC=45°，所以∠PDC1=90°，所以C1D⊥PD．…（10分）

而PC⊥PD，C1D与PC在同一个平面内，所以PC∥C1D．…（11分）

而C1D⊂面AB1C1D，所以PC∥面AB1C1D，所以PC∥平面AB1D． …（12分）

方法二：（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系，设棱长AA1=a，则有D（0，0，a），P（0，1，a+1），B（3，2，a），C（0，2，a）．  …（2分）

于是=(0，-1，-1)，=(3，1，-1)，=(0，1，-1)，所以•=0，•=0．…（3分）

所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．  …（4分）

（Ⅱ）A（3，0，a），所以=(3，-1，-1)，而平面ABCD的一个法向量为=(0，0，1)．…（5分）

所以cos＜，＞==-．…（6分）

所以PA与平面ABCD所成的角的正弦值为． …（7分）

所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为．…（8分）

（Ⅲ）B1=（3，2，0），所以=(3，0，0)，=(0，2，-a)．

设平面AB1D的法向量为=(x，y，z)，则有，

令z=2，可得平面AB1D的一个法向量为=(0，a，2)．  …（10分）

若要使得PC∥平面AB1D，则要⊥，即•=a-2=0，解得a=2．…（11分）

所以当a=2时，PC∥平面AB1D．  …（12分）

证明：（Ⅰ）∵EF是△SAC的中位线，

∴EF∥AC．又∵EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴EF∥平面ABC．（6分）

（Ⅱ）∵SA=SC，AD=DC，∴SD⊥AC．

∵BA=BC，AD=DC，∴BD⊥AC．

又∵SD⊂平面SBD，BD⊂平面SBD，SD∩DB=D，

∴AC⊥平面SBD，又∵AC⊂平面ABC，

∴平面SBD⊥平面ABC．（12分）

解：设正方体的棱长为1，如图所示，

以为单位正交基底建立空间直角坐标系，

(Ⅰ)依题意，得，

所以，

在正方形ABCD-A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，

所以是平面ABB1A1的一个法向量，

设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，

则，

即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为。

(Ⅱ)依题意，得A1(0，0，1)，，

设n=(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，

则由，，得，

所以，

取z=2，得n=(2，1，2)；

设F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1)，

又B1(1，0，1)，所以，

而B1F平面A1BE，

于是=0

F为C1D1的中点．

这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE。

解：（1）如图，连接AC1与A1C交于点K，连接DK

在△ABC1中，D，K为中点，

∴DK∥BC1又DK平面DCA1，BC1平面DCA1，

∴BC1∥平面DCA1。

（2）如图，∵AC=BC，D为AB的中点，

∴CD⊥AB

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，

∴CD⊥平面ABB1A1取A1B1的中点E，又D为AB的中点，

∴DE，BB1，CC1平行且相等，

∴DCC1E是平行四边形，

∴C1E，CD平行且相等，

又CD⊥平面ABB1A1，

∴C1E⊥平面ABB1A1，

∴∠EBC1即所求角，

由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，

∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，

∴BB1⊥平面ABC，

∴此三棱柱为直棱柱

设AC=BC=BB1=2，

∴，∠EBC1=30°。