热门试卷

（1）取PA的中点F，连结EF，BF，在△PAD中，E是PD的中点，AD=2，

所以EF∥AD，EF=AD=1，

又因为AD∥BC，BC=1，

所以四边形BCEF为平行四边形，

所以CE∥BF．

又因为CF⊈平面PAB，BE⊂平面PAB，

所以CE∥平面PAB．

（2）梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=AD=2

所以解得AC=，取AD的中点G，连结CG，则AG=GD=1，

所以四边形ABCG是矩形，CG=AB=1．

Rt△CGD中，CD=，

在三角形ACD中，AC2+CD2=AD2，

所以∠ACD=90°，即CD⊥AC．

又因为PA⊥面ABCD，CD⊂面ABCD，

所以PA⊥CD，

又PA⊂面PAC，AC⊂面PAC，PA∩AC=A，

所以CD⊥平面PAC．

解：（1）设，连结EH，

在中，因为AD=CD，且DB平分，

所以H为AC的中点，

又有题设，E为PC的中点，

故，

又平面BDE，平面BDE

所以平面BDE。

（2）因为平面，平面ABCD，

所以

由（1）知，，

故。

（3）由平面PBD

可知，BH为BC在平面PBD内的射影，

所以为直线与平面PBD所成的角

由，

可得

在中，

所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。

(Ⅰ)证明：四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，

又CC1面ABB1A1，所以CC1∥平面ABB1A1，

ABCD是正方形，所以CD∥AB，

又CD面ABB1A1，所以CD∥平面ABB1A1，

所以平面CDD1C1∥平面ABB1A1，

所以，C1D∥半面ABB1A1。

(Ⅱ)解：ABCD是正方形，AD⊥CD，

因为A1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，

在△ADA1中，由已知可得A1D=，

所以，D(0，0，0)， A1(0，0，)，A(1，0，0)，C1（-1，1，），

B1(0，1，)，D(-1，0，)，B(1，1，0)，，

因为A1D⊥平面ABCD，

所以，A1D⊥平面A1B1C1D1，A1D⊥B1D1，

又B1D1⊥A1C1，

所以，B1D1⊥平面A1C1D，

所以平面A1C1D的一个法向量为n=(1，1，0)，

设与n所成的角为β，

则，

所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为。

(Ⅲ)解：设平面A1C1A的法向量为m=（a，b，c），

则，

所以，，

令，可得，

设二面角D-A1C1-A的大小为α，

则，

所以，二面角D-A1C1-A的余弦值为。

①在正方体中，面ADD1A1∥BCC1B1

且AF⊂面ADD1A1，

所以AF∥平面BCC1B1；

②在正方体中，A1B1⊥平面ADD1A1．AF⊂面ADD1A1，

所以A1B1⊥AF，

因为E，F，G是CC1，A1D1，DD1的中点．

所以可得AF⊥A1G，

因为AF⊥A1B1，AF⊥A1G，

A1B1∩A1G=A1，

所以AF⊥平面A1GEB1．

证明：（1）∵BC∥B1C1，且B1C1⊂平面MNB1，BC⊄平面MNB1，

∴BC∥平面MNB1；

（2）∵BC⊥AC，ABC-A1B1C1为直三棱柱

∴CB⊥平面ACC1A1．

∵BC⊂平面A1CB

∴平面A1CB⊥平面ACC1A1．

解：（Ⅰ）取ED的中点P，连接PO，PF，

则PO为梯形BCED的中位线，，

又，

所以PO∥AF，所以A，O，P，F四点共面。

因为AO∥面EFD，且面AOPF∩面EFD=PF，

所以AO∥PF，

所以四边形AOPF为平行四边形，PO=AF=2，

所以BD=1。

（Ⅱ）由题意可知平面ABC⊥面BCED；

又AO⊥BC且平面ABC，

所以AO⊥面BCED，

因为AO∥PF，

所以PF⊥面BCED，

又面EFD，

所以面EFD⊥面BCED；

（Ⅲ）以O为原点，OC，OA，OP所在直线分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

，

设Q为AC的中点，则，

易证：BQ⊥平面ACEF，平面ACEF的法向量为，

设平面DEF的法向量为，，

由得，所以，

所以，

所以平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为。

(Ⅰ)证明：取AC中点F，连接OF，FB，

∵F是AC的中点，O为CE的中点，

∴OF∥EA且OF=EA，

又BD∥AE且BD=AE，

∴OF∥DB，OF=DB，

∴四边形BDOF是平行四边形， 

∴OD∥FB，

又∵FB平面ABC，OD平面ABC，

∴OD∥面ABC。

(Ⅱ)解：∵DB⊥BA，又面ABDE⊥面ABC，

面ABDE∩面ABC=AB，DB面ABDE，

∴DB⊥面ABC，

∵BD∥AE，

∴EA⊥面ABC，

如图，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，

以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AC=BC=4，

∴各点坐标为：C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），

D（0，4，2），E（4，0，4），

∴O（2，0，2），M（2，2，0），

设平面ODM的法向量n=（x，y，z），

则由且可得，

令x=2，得y=1，z=1，

∴n=（2，1，1），

设直线CD和平面ODM所成角为θ，

则，

∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为。

(Ⅲ)解：当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE，

取EM中点N，连接ON，CM，

∵AC=BC，M为AB中点，

∴CM⊥AB，

又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB， CM面ABC，

∴CM⊥平面ABDE，

∵N是EM中点，O为CE中点，

∴ON∥CM， 

∴ON⊥平面ABDE．

（1）证明：“略”；

（2）解：；

（3）解：。

 （1）连接AC1，

∵矩形AA1B1B中，M为A1B与AB1的交点，

∴M是AB1的中点，

又∵N为棱B1C1的中点，

∴△AB1C1中，MN是中位线，可得MN∥AC1，…（4分）

又∵AC1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，

∴MN∥平面AA1C1C．…（6分）

（2）∵矩形A1C1CA中，AC=AA1，

∴四边形AA1C1C是正方形，可得AC1⊥A1C，

又∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，

∴CC1⊥BC．

∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，

∴结合CC1∩AC=C，得BC⊥平面AA1C1C，

∵AC1⊆平面AA1C1C，∴BC⊥AC1，…（8分）

∵BC、A1C是平面A1BC内的相交直线，

∴AC1⊥平面A1BC

又∵MN∥AC1，∴MN⊥平面A1BC．…（14分）